希臘幾何學(xué)的社會(huì)文化根源(2)

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古希臘哲學(xué)——本體論、知識(shí)論和邏輯學(xué)是希臘理性文化中的精品。“愛智者”們從深層次的根基問題上開始了對法學(xué)和語言學(xué)中所提出的帶普遍性的諸如“自然規(guī)律”、羅各斯、真理等知識(shí)理論問題進(jìn)行理性思考。公元前5世紀(jì)出現(xiàn)的智者運(yùn)動(dòng)，對希臘哲學(xué)的發(fā)展以及幾何學(xué)的發(fā)展產(chǎn)生了重大的影響。當(dāng)時(shí)，雄辯術(shù)(Sophistry)的一個(gè)方面或一種類型就是進(jìn)行某種語言審查，稱為反駁論證(Elenchis)，要求把一切行為都置于理性批判和理性推論的基礎(chǔ)之上。希臘論辯術(shù)除了論點(diǎn)和論據(jù)以外，還涉及到邏輯，即語言處理法?！斑壿嫛边@個(gè)概念，在古希臘語言文化的使用中有多種含義：發(fā)言、演說、陳述、論證等等。但概括起來講，邏輯一詞主要有三個(gè)應(yīng)用領(lǐng)域，它們之間有著潛在的概念上的統(tǒng)一性。首先是語言和語言的領(lǐng)域，包括發(fā)言、演說、描述、陳述、（用語言表達(dá)的）論證等等；其次是思想和思維過程的領(lǐng)域，包括思考、推理、解釋、說明等等；第三是世界，即我們所言說、所思想的對象，包括構(gòu)造原理、公式、自然法則等等。
詞匯、思想和事物之間究竟是一種什么關(guān)系？這成為智者們思考的一個(gè)重要問題。一旦人們把這三者區(qū)分開來，同時(shí)仍然堅(jiān)持作為獲得真理和知識(shí)的必要條件，三者之間應(yīng)該具有某種一致性，由此人們就面臨著如何最恰當(dāng)?shù)睦斫膺壿嬇c這三者的關(guān)系問題。一個(gè)事物的邏輯就是：其一，事物自身的原則、本質(zhì)、顯著標(biāo)志或事物本身的組成部分；其二，我們認(rèn)為它所是的東西；其三，對事物（語言上的）正確描述、說明或定義。這些都提出了是什么的問題。事物的邏輯在第一項(xiàng)下是指事物是什么；在第二項(xiàng)下是指人們認(rèn)為它指的是什么；在第三項(xiàng)下是指人們說它是什么。歸根到底，從最高意義上講，也就是思維和存在的關(guān)系問題。蘇格拉底向人們指出，要解決這個(gè)問題，“最好求助于羅各斯，從中考查存在的真理?！?br /> 至少有10種含義的希臘字“附圖”成為蘇格拉底時(shí)代希臘哲學(xué)發(fā)展的突破口。獨(dú)特的希臘系動(dòng)詞“是”（附圖）引起了理論家們的注意，成為哲學(xué)家思考和研究的對象，由此而開創(chuàng)了哲學(xué)本體論的研究領(lǐng)域。作為哲學(xué)范疇的“附圖”一詞的哲學(xué)意義為“存在”、“本性”、“有”、“是”。存在與非存在、有與無、是與非等問題的論爭貫穿于希臘哲學(xué)發(fā)展的全過程，特別地成為辯證法的搖籃。三大幾何難題（三等分角、化圓為方、立方倍積）和芝諾四大悖論（實(shí)質(zhì)是運(yùn)動(dòng)和靜止、有限和無限、連續(xù)和間斷的矛盾性）的出現(xiàn)都是希臘人辯證思維的產(chǎn)物。
蘇格拉底在愛利亞學(xué)派的本體論和芝諾反證法的基礎(chǔ)上，首創(chuàng)“詰問式”的辯證方法，一種“發(fā)明觀念”的矛盾方法，促進(jìn)了對“定義”和“推論”的深化研究。他提出“真正的知識(shí)基于普遍的定義”和“歸納的理論”。他以邏輯辯論的方式啟發(fā)思想，揭露矛盾，以辯證思維的方法深入到事物的本質(zhì)。蘇格拉底致力于尋求事物的普遍定義，例如“什么是正義”。他總是以提問的方式揭露對方提出的各種命題、學(xué)說中的各種矛盾，以動(dòng)搖對方論證的基礎(chǔ)，指明對方的無知。蘇格拉底以此來訓(xùn)練人的邏輯推理能力。
柏拉圖不僅是一位法理學(xué)家，而且是一位極其重要的數(shù)學(xué)思想家?！安欢畮缀握卟荒苋雰?nèi)”是他教育學(xué)生、訓(xùn)練思維的主要方法。在數(shù)學(xué)教育史上，柏拉圖是第一個(gè)提出以幾何學(xué)作為訓(xùn)練和提高人的思維能力的哲學(xué)家和教育家。在數(shù)學(xué)方法論上，柏拉圖是第一個(gè)把嚴(yán)密推理法則加以系統(tǒng)化的人。他特別關(guān)心數(shù)學(xué)中的證明問題，關(guān)心推理過程中的方法論。柏拉圖提出數(shù)學(xué)證明應(yīng)以某種假設(shè)作為出發(fā)點(diǎn)，即公理、然后通過一系列邏輯推理，最后達(dá)到所要證明的結(jié)論。他將這種數(shù)學(xué)推演過程概括為“假設(shè)法”。柏拉圖學(xué)派把幾何學(xué)證明方法的發(fā)明推向高潮。他們發(fā)明了幾何證明中的分析法、間接證明中的歸謬法。古希臘從柏拉圖時(shí)代起，數(shù)學(xué)上要求根據(jù)一些公認(rèn)的原理作出演繹證明，已經(jīng)成為數(shù)學(xué)研究中的一個(gè)準(zhǔn)則。演繹證明是以其正確性已經(jīng)是眾所周知的理論陳述，或者以在一個(gè)既定的理論體系中被視為正確的公理為出發(fā)點(diǎn)，并以它們?yōu)楦鶕?jù)，借助于邏輯的最終規(guī)則，構(gòu)成一系列陳述，而這些陳述的最后是可以被論證的命題。每一個(gè)相繼產(chǎn)生的陳述必須按照最終規(guī)則從前一個(gè)陳述中產(chǎn)生。數(shù)學(xué)中純粹的演繹證明，早已是以相關(guān)理論的廣泛的形式化為前提。
法學(xué)家、哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家歐多克索斯，繼承了畢達(dá)哥拉斯學(xué)派開創(chuàng)的把幾何學(xué)作為證明的演繹科學(xué)進(jìn)行研究的方向。在同代人，特別是柏拉圖學(xué)派的研究基礎(chǔ)上，初步建立起以公理為依據(jù)的演繹法。歐多克索斯的數(shù)學(xué)思想完全來源于希臘的哲學(xué)文化。希臘字假設(shè)(hypothesis)，其本意為辯論雙方可接受的命題為出發(fā)點(diǎn)，不需證明或證實(shí)的是基本命題。公理(Axioma)原義乃請求，轉(zhuǎn)義為公理，指基礎(chǔ)、研究的出發(fā)點(diǎn)。歐多克索斯總結(jié)出直接證明的演繹推理手法與間接證明的反證法，分析法和綜合法為幾何證明中的主導(dǎo)思想方式。
亞里士多德為古希臘哲學(xué)文化的集大成者。他倡導(dǎo)“第一哲學(xué)”，研究“存在的存在”，作為“是的是”的科學(xué)。他認(rèn)為，思想在推理和證明的過程中的聯(lián)系、邏輯學(xué)定律和規(guī)則，是以存在本身的聯(lián)系為基礎(chǔ)的。亞里士多德的形式邏輯，作為工具論，對希臘證明幾何學(xué)的最終完成，作出了重要貢獻(xiàn)。他在《分析篇》中指出：“我們無論如何都是通過證明獲得知識(shí)的，我所謂的證明是指產(chǎn)生科學(xué)知識(shí)的三段論。所謂科學(xué)知識(shí)，是指只要我們把握了它，就能據(jù)此知道事物的東西?！盵4]他在《論題篇》中指出：“推理是一種論證，其中有一些被假設(shè)為前提，另外的判斷則必須由它們發(fā)生。當(dāng)推理由此出發(fā)的前提是真實(shí)的和原初的時(shí)……這種推理就是證明的?！盵4]亞里士多德明確提出證明三要素：一是有待于證明的結(jié)論；二是公理（公理是證明的基礎(chǔ)）；三是載體性的種及其規(guī)定及依據(jù)自身的屬性由證明揭示。他還認(rèn)為，數(shù)學(xué)是研究形式的，人們通過算術(shù)證明幾何命題。
亞里士多德的邏輯學(xué)是為人們的思維“立法”，它所總結(jié)出來的邏輯規(guī)律（同一律、矛盾律、排中律）為幾何證明提供了一種法度，即有效推理的準(zhǔn)則。數(shù)學(xué)論證必須滿足兩大條件：真前提或出發(fā)點(diǎn)，以及有效的論證。數(shù)學(xué)推理都是根據(jù)矛盾律進(jìn)行的；反證法的依據(jù)是邏輯的排中律。希臘人確信，邏輯是科學(xué)的工具，真理是建立在證明之上的，而且是一種“信念”的源泉。理所當(dāng)然，數(shù)學(xué)體系的建立離不開思維的邏輯工具。
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公元前300年左右，亞歷山大里亞的數(shù)學(xué)家歐幾里得站在巨人的肩膀上，運(yùn)用亞里士多德形式化的邏輯分析和證明理論，終于建立起一個(gè)完備的幾何學(xué)知識(shí)體系。他把前人已有的幾何學(xué)知識(shí)充分搜集起來并加以系統(tǒng)化，從中抽出那些最簡單、最基本，已被無數(shù)經(jīng)驗(yàn)事實(shí)所一再證實(shí)了的命題，作為不證自明的公理或公設(shè)，再由此出發(fā)，以嚴(yán)格的邏輯演繹方法，循序漸進(jìn)、由簡及繁地引出幾何學(xué)的全部定理，并為之提供了精辟的邏輯證明?！稁缀卧尽返恼Q生，標(biāo)志著希臘證明幾何學(xué)的完成和演繹數(shù)學(xué)體系的確立。
在《幾何原本》里，歐幾里得對他以前的和他親自增補(bǔ)的所有幾何問題，作出了嚴(yán)格的邏輯性的敘述。這種敘述是借助于演繹法包含把假定作為基礎(chǔ)的某些不要求證明的定義和真理，而一切進(jìn)一步的原理則用嚴(yán)格的證明作出，這些證明或者是根據(jù)這些真理，或者是根據(jù)由真理得出的原理。歐幾里得倡導(dǎo)的“定義—公設(shè)—公理—命題”四步曲，成為數(shù)學(xué)研究的綱領(lǐng)方法論和數(shù)學(xué)理論最通用的鋪陳方式，以及“已知—求證—證明”的數(shù)學(xué)演算三段論，對后世的數(shù)學(xué)發(fā)展產(chǎn)生了極其深遠(yuǎn)的影響。
綜上所述，我們可以得出以下結(jié)論：希臘幾何學(xué)從泰勒斯開始，到歐幾里得完成，其間經(jīng)歷了萌芽、生長、成熟和定型四個(gè)階段，歷經(jīng)300余年的發(fā)展。每一個(gè)階段的演進(jìn)都受到了希臘理性文化的深刻影響。法律文化中的公理、假設(shè)、理由、證據(jù)等范疇是幾何學(xué)中的公理、公設(shè)、推論、證明的概念根源；語言文化中的希臘系動(dòng)詞“是”（附圖）獨(dú)特的語法現(xiàn)象，誘發(fā)出了哲學(xué)本體論和知識(shí)論的研究，以及邏輯學(xué)中的概念、判斷和推理等思維形式的研究，這些都成為幾何學(xué)中的定義、推論和證明的理論基礎(chǔ)；博大精深、內(nèi)涵豐富的希臘哲學(xué)文化，成為幾何證明方法不斷發(fā)明創(chuàng)造的源泉?jiǎng)恿Α７催^來，公理幾何學(xué)的發(fā)展，給希臘理性文化以影響，使之具有幾何學(xué)的本質(zhì)。由此從中給人們透露出一種信息：幾何學(xué)，乃至整個(gè)數(shù)學(xué)的發(fā)展無不受到人文、社會(huì)科學(xué)發(fā)展的影響和制約。文理交叉、優(yōu)勢互補(bǔ)、相得益彰、協(xié)同進(jìn)化，是科學(xué)發(fā)展的一條重要規(guī)律。
【參考文獻(xiàn)】
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