雙曲線的基本知識點

一般的，雙曲線(希臘語“Υπερβολ?α”，字面意思是“超過”或“超出”)是定義為平面交截直角圓錐面的兩半的一類圓錐曲線。以下是小編為大家?guī)淼碾p曲線的基本知識點大全，歡迎參閱呀!

雙曲線的基本知識點大全

1. 雙曲線的第一定義：

⑴①雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程：. 一般方程：.

⑵①i. 焦點在x軸上：

頂點：　焦點：　 準(zhǔn)線方程 漸近線方程：或

ii. 焦點在軸上：頂點：. 焦點：. 準(zhǔn)線方程：. 漸近線方程：或，參數(shù)方程：或 .

②軸為對稱軸，實軸長為2a, 虛軸長為2b，焦距2c. ③離心率. ④準(zhǔn)線距(兩準(zhǔn)線的距離);通徑. ⑤參數(shù)關(guān)系. ⑥焦點半徑公式：對于雙曲線方程(分別為雙曲線的左、右焦點或分別為雙曲線的上下焦點)

“長加短減”原則：

構(gòu)成滿足(與橢圓焦半徑不同，橢圓焦半徑要帶符號計算，而雙曲線不帶符號)

⑶等軸雙曲線：雙曲線稱為等軸雙曲線，其漸近線方程為，離心率.

⑷共軛雙曲線：以已知雙曲線的虛軸為實軸，實軸為虛軸的雙曲線，叫做已知雙曲線的共軛雙曲線.與互為共軛雙曲線，它們具有共同的漸近線：.

⑸共漸近線的雙曲線系方程：的漸近線方程為如果雙曲線的漸近線為時，它的雙曲線方程可設(shè)為.

例如：若雙曲線一條漸近線為且過，求雙曲線的方程?

解：令雙曲線的方程為：，代入得.

⑹直線與雙曲線的位置關(guān)系：

區(qū)域①：無切線，2條與漸近線平行的直線，合計2條;

區(qū)域②：即定點在雙曲線上，1條切線，2條與漸近線平行的直線，合計3條;

區(qū)域③：2條切線，2條與漸近線平行的直線，合計4條;

區(qū)域④：即定點在漸近線上且非原點，1條切線，1條與漸近線平行的直線，合計2條;

區(qū)域⑤：即過原點，無切線，無與漸近線平行的直線.

小結(jié)：過定點作直線與雙曲線有且僅有一個交點，可以作出的直線數(shù)目可能有0、2、3、4條.

(2)若直線與雙曲線一支有交點，交點為二個時，求確定直線的斜率可用代入法與漸近線求交和兩根之和與兩根之積同號.

⑺若P在雙曲線，則常用結(jié)論1：P到焦點的距離為m = n，則P到兩準(zhǔn)線的距離比為m︰n.

簡證：　=.

常用結(jié)論2：從雙曲線一個焦點到另一條漸近線的距離等于b.

北師大版初二數(shù)學(xué)下冊知識點歸納

第一章分式

1分式及其基本性質(zhì)分式的分子和分母同時乘以(或除以)一個不等于零的整式，分式的只不變

2分式的運算

(1)分式的乘除乘法法則：分式乘以分式，用分子的積作為積的分子，分母的積作為積的分母除法法則：分式除以分式，把除式的分子、分母顛倒位置后，與被除式相乘。

(2)分式的加減加減法法則：同分母分式相加減，分母不變，把分子相加減;異分母分式相加減，先通分，變?yōu)橥帜傅姆质?，再加減

3整數(shù)指數(shù)冪的加減乘除法

4分式方程及其解法

第二章反比例函數(shù)

1反比例函數(shù)的表達(dá)式、圖像、性質(zhì)

圖像：雙曲線

表達(dá)式：y=k/x(k不為0)

性質(zhì)：兩支的增減性相同;

2反比例函數(shù)在實際問題中的應(yīng)用

第三章勾股定理

1勾股定理：直角三角形的兩個直角邊的平方和等于斜邊的平方

2勾股定理的逆定理：如果一個三角形中，有兩個邊的平方和等于第三條邊的平方，那么這個三角形是直角三角形。

第四章四邊形

1平行四邊形

性質(zhì)：對邊相等;對角相等;對角線互相平分。

判定：兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形;

兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形;

對角線互相平分的四邊形是平行四邊形;

一組對邊平行而且相等的四邊形是平行四邊形。

推論：三角形的中位線平行第三邊，并且等于第三邊的一半。

2特殊的平行四邊形：矩形、菱形、正方形

(1)矩形

性質(zhì)：矩形的四個角都是直角;

矩形的對角線相等;

矩形具有平行四邊形的所有性質(zhì)

判定：有一個角是直角的平行四邊形是矩形;對角線相等的平行四邊形是矩形;

推論：直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半。

(2)菱形性質(zhì)：菱形的四條邊都相等;菱形的對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角;菱形具有平行四邊形的一切性質(zhì)

判定：有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形;對角線互相垂直的平行四邊形是菱形;四邊相等的四邊形是菱形。

(3)正方形：既是一種特殊的矩形，又是一種特殊的菱形，所以它具有矩形和菱形的所有性質(zhì)。

3梯形：直角梯形和等腰梯形

等腰梯形：等腰梯形同一底邊上的兩個角相等;等腰梯形的兩條對角線相等;同一個底上的兩個角相等的梯形是等腰梯形。

初二數(shù)學(xué)下冊知識點歸納

第一章一元一次不等式和一元一次不等式組

一、一般地，用符號(或)，(或)連接的式子叫做不等式.

能使不等式成立的未知數(shù)的值，叫做不等式的解.不等式的解不，把所有滿足不等式的解集合在一起，構(gòu)成不等式的解集.求不等式解集的過程叫解不等式.

由幾個一元一次不等式組所組成的不等式組叫做一元一次不等式組

不等式組的解集：一元一次不等式組各個不等式的解集的公共部分.

等式基本性質(zhì)1：在等式的兩邊都加上(或減去)同一個數(shù)或整式，所得的結(jié)果仍是等式.基本性質(zhì)2：在等式的兩邊都乘以或除以同一個數(shù)(除數(shù)不為0)，所得的結(jié)果仍是等式.

二、不等式的基本性質(zhì)1：不等式的兩邊都加上(或減去)同一個整式，不等號的方向不變.(注：移項要變號，但不等號不變.)性質(zhì)2：不等式的兩邊都乘以(或除以)同一個正數(shù)，不等號的方向不變.性質(zhì)3：不等式的兩邊都乘以(或除以)同一個負(fù)數(shù)，不等號的方向改變.不等式的基本性質(zhì)1、若ab，則a+cb+c;2、若ab，c0則acbc若c0，則ac不等式的其他性質(zhì)：反射性：若ab，則bb，且bc，則ac

三、解不等式的步驟：1、去分母;2、去括號;3、移項合并同類項;4、系數(shù)化為1.四、解不等式組的步驟：1、解出不等式的解集2、在同一數(shù)軸表示不等式的解集.五、列一元一次不等式組解實際問題的一般步驟：(1)審題;(2)設(shè)未知數(shù)，找(不等量)關(guān)系式;(3)設(shè)元，(根據(jù)不等量)關(guān)系式列不等式(組)(4)解不等式組;檢驗并作答.

六、?？碱}型：1、求4x-67x-12的非負(fù)數(shù)解.2、已知3(x-a)=x-a+1r的解適合2(x-5)8a，求a的范圍.

3、當(dāng)m取何值時，3x+m-2(m+2)=3m+x的解在-5和5之間.

第二章分解因式

一、公式：1、ma+mb+mc=m(a+b+c)2、a2-b2=(a+b)(a-b)3、a22ab+b2=(ab)2二、把一個多項式化成幾個整式的積的形式，這種變形叫做把這個多項式分解因式.1、把幾個整式的積化成一個多項式的形式，是乘法運算.2、把一個多項式化成幾個整式的積的形式，是因式分解.3、ma+mb+mcm(a+b+c)4、因式分解與整式乘法是相反方向的變形.

三、把多項式的各項都含有的相同因式，叫做這個多項式的各項的公因式.提公因式法分解因式就是把一個多項式化成單項式與多項式相乘的形式.找公因式的一般步驟：(1)若各項系數(shù)是整系數(shù)，取系數(shù)的公約數(shù);(2)取相同的字母，字母的指數(shù)取較低的;(3)取相同的多項式，多項式的指數(shù)取較低的.(4)所有這些因式的乘積即為公因式.

四、分解因式的一般步驟為：(1)若有-先提取-，若多項式各項有公因式，則再提取公因式.(2)若多項式各項沒有公因式，則根據(jù)多項式特點，選用平方差公式或完全平方公式.(3)每一個多項式都要分解到不能再分解為止.

五、形如a2+2ab+b2或a2-2ab+b2的式子稱為完全平方式.分解因式的方法：1、提公因式法.2、運用公式法.

第三章分式

注：1對于任意一個分式，分母都不能為零.

2分式與整式不同的是：分式的分母中含有字母，整式的分母中不含字母.

3分式的值為零含兩層意思：分母不等于零;分子等于零.(中B0時，分式有意義;分式中，當(dāng)B=0分式無意義;當(dāng)A=0且B0時，分式的值為零.)

?？贾R點：1、分式的意義，分式的化簡.2、分式的加減乘除運算.3、分式方程的解法及其利用分式方程解應(yīng)用題.

第四章相似圖形

一、定義表示兩個比相等的式子叫比例.如果a與b的比值和c與d的比值相等，那么或a∶b=c∶d，這時組成比例的四個數(shù)a，b，c，d叫做比例的項，兩端的兩項叫做外項，中間的兩項叫做內(nèi)項.即a、d為外項，c、b為內(nèi)項.如果選用同一個長度單位量得兩條線段AB、CD的長度分別是m、n，那么就說這兩條線段的比(ratio)AB∶CD=m∶n，或?qū)懗?，其中，線段AB、CD分別叫做這兩個線段比的前項和后項.如果把表示成比值k，則=k或AB=kCD.四條線段a，b，c，d中，如果a與b的比等于c與d的比，即，那么這四條線段a，b，c，d叫做成比例線段，簡稱比例線段.黃金分割的定義：在線段AB上，點C把線段AB分成兩條線段AC和BC，如果，那么稱線段AB被點C黃金分割(goldensection)，點C叫做線段AB的黃金分割點，AC與AB的比叫做黃金比.其中0.618.引理：平行于三角形的一邊，并且和其他兩邊相交的直線，所截得的三角形的三邊與原三角形三邊對應(yīng)成比例.相似多邊形：對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例的兩個多邊形叫做相似多邊形.相似多邊形：各角對應(yīng)相等、各邊對應(yīng)成比例的兩個多邊形叫做相似多邊形.相似比：相似多邊形對應(yīng)邊的比叫做相似比.

二、比例的基本性質(zhì)：1、若ad=bc(a，b，c，d都不等于0)，那么.如果(b，d都不為0)，那么ad=bc.2、合比性質(zhì)：如果，那么.3、等比性質(zhì)：如果==(b+d++n0)，那么.4、更比性質(zhì)：若那么.5、反比性質(zhì)：若那么

三、求兩條線段的比時要注意的問題：(1)兩條線段的長度必須用同一長度單位表示，如果單位長度不同，應(yīng)先化成同一單位，再求它們的比;(2)兩條線段的比，沒有長度單位，它與所采用的長度單位無關(guān);(3)兩條線段的長度都是正數(shù)，所以兩條線段的比值總是正數(shù).

四、相似三角形(多邊形)的性質(zhì)：相似三角形對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例，相似三角形對應(yīng)高的比、對應(yīng)角平分線的比和對應(yīng)中線的比都等于相似比.相似多邊形的周長比等于相似比，面積比等于相似比的平方.

五、全等三角形的判定方法有：ASA，AAS，SAS，SSS，直角三角形除此之外再加HL

六、相似三角形的判定方法，判斷方法有：1.三邊對應(yīng)成比例的兩個三角形相似;2.兩角對應(yīng)相等的兩個三角形相似;3.兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等;4.定義法：對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例的兩個三角形相似.5、定理：平行于三角形一邊的直線和其他兩邊(或兩邊的延長線)相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似.在特殊的三角形中，有的相似，有的不相似.1、兩個全等三角形一定相似.2、兩個等腰直角三角形一定相似.3、兩個等邊三角形一定相似.4、兩個直角三角形和兩個等腰三角形不一定相似.

七、位似圖形上任意一對對應(yīng)點到位似中心的距離之比等于位似比.如果兩個圖形不僅是相似圖形，而且每組對應(yīng)點所在的直線都經(jīng)過同一個點，那么這樣的兩個圖形叫做位似圖形，這個點叫位似中心，這時的相似比又稱為位似比.

八、?？贾R點：1、比例的基本性質(zhì)，黃金分割比，位似圖形的性質(zhì).2、相似三角形的性質(zhì)及判定.相似多邊形的性質(zhì).

第五章數(shù)據(jù)的收集與處理

(1)普查的定義：這種為了一定目的而對考察對象進(jìn)行的全面調(diào)查，稱為普查.(2)總體：其中所要考察對象的全體稱為總體.(3)個體：組成總體的每個考察對象稱為個體(4)抽樣調(diào)查：(samplinginvestigation)：從總體中抽取部分個體進(jìn)行調(diào)查，這種調(diào)查稱為抽樣調(diào)查.(5)樣本(sample)：其中從總體中抽取的一部分個體叫做總體的一個樣本.(6)當(dāng)總體中的個體數(shù)目較多時，為了節(jié)省時間、人力、物力，可采用抽樣調(diào)查.為了獲得較為準(zhǔn)確的調(diào)查結(jié)果，抽樣時要注意樣本的代表性和廣泛性.還要注意關(guān)注樣本的大小.(7)我們稱每個對象出現(xiàn)的次數(shù)為頻數(shù).而每個對象出現(xiàn)的次數(shù)與總次數(shù)的比值為頻率.

數(shù)據(jù)波動的統(tǒng)計量：極差：指一組數(shù)據(jù)中數(shù)據(jù)與最小數(shù)據(jù)的差.方差：是各個數(shù)據(jù)與平均數(shù)之差的平方的平均數(shù).標(biāo)準(zhǔn)差：方差的算術(shù)平方根.識記其計算公式.一組數(shù)據(jù)的極差，方差或標(biāo)準(zhǔn)差越小，這組數(shù)據(jù)就越穩(wěn)定.還要知平均數(shù)，眾數(shù)，中位數(shù)的定義.

刻畫平均水平用：平均數(shù)，眾數(shù)，中位數(shù).刻畫離散程度用：極差，方差，標(biāo)準(zhǔn)差.

常考知識點：1、作頻數(shù)分布表，作頻數(shù)分布直方圖.2、利用方差比較數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性.3、平均數(shù)，中位數(shù)，眾數(shù)，極差，方差，標(biāo)準(zhǔn)差的求法.3、頻率，樣本的定義

第六章證明

一、對事情作出判斷的句子，就叫做命題.即：命題是判斷一件事情的句子.一般情況下：疑問句不是命題.圖形的作法不是命題.每個命題都有條件(condition)和結(jié)論(conclusion)兩部分組成.條件是已知的事項，結(jié)論是由已知事項推斷出的事項.一般地，命題都可以寫成如果，那么的形式.其中如果引出的部分是條件，那么引出的部分是結(jié)論.要說明一個命題是一個假命題，通?？梢耘e出一個例子，使它具備命題的條件，而不具有命題的結(jié)論.這種例子稱為反例.

二、三角形內(nèi)角和定理：三角形三個內(nèi)角的和等于180度.1、證明三角形內(nèi)角和定理的思路是將原三角形中的三個角湊到一起組成一個平角.一般需要作輔助線.既可以作平行線，也可以作一個角等于三角形中的一個角.2、三角形的外角與它相鄰的內(nèi)角是互為補角.

三、三角形的外角與它不相鄰的內(nèi)角關(guān)系是：(1)三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和.(2)三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內(nèi)角.

四、證明一個命題是真命題的基本步驟是：(1)根據(jù)題意，畫出圖形.(2)根據(jù)條件、結(jié)論，結(jié)合圖形，寫出已知、求證.(3)經(jīng)過分析，找出由已知推出求證的途徑，寫出證明過程.在證明時需注意：(1)在一般情況下，分析的過程不要求寫出來.(2)證明中的每一步推理都要有根據(jù).如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也相互平行.30.所對的直角邊是斜邊的一半.斜邊上的高是斜邊的一半.

常考知識點：1、三角形的內(nèi)角和定理，及三角形外角定理.2兩直線平行的性質(zhì)及判定.命題及其條件和結(jié)論，真假命題的定義.

九年級數(shù)學(xué)期中上冊知識點

三角形中位線的定理

三角形的中位線平行于三角形的第三邊，并且等于第三邊的一半。

【平行四邊形的性質(zhì)】

①平行四邊形的對邊相等;

②平行四邊形的對角相等;

③平行四邊形的對角線互相平分。

矩形的性質(zhì)

①矩形具有平行四邊形的一切性質(zhì);

②矩形的四個角都是直角;

③矩形的對角線相等.

正方形的判定與性質(zhì)

1.判定方法：

(1)鄰邊相等的矩形;

(2)鄰邊垂直的菱形;

(3)對角線垂直的矩形;

(4)對角線相等的菱形;

2.性質(zhì)：

(1)邊：四邊相等，對邊平行;

(2)角：四個角都相等都是直角，鄰角互補;

(3)對角線互相平分、垂直、相等，且每長對角線平分一組內(nèi)角。

初三數(shù)學(xué)期中上冊知識點

1、反比例函數(shù)的定義

2、用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式

由于反比例函數(shù)

只有一個待定系數(shù)，因此，只要一組對應(yīng)值，就可以求出k的值，從而確定反比例函數(shù)的表達(dá)式。

3、反比例函數(shù)的圖像及畫法

反比例函數(shù)的圖像是雙曲線，它有兩個分支，這兩個分支分別位于第一、第三象限或第二、第四象限，它們與原點對稱，由于反比例函數(shù)中自變量函數(shù)中

所以它的圖像與x軸、y軸都沒有交點，即雙曲線的兩個分支無限接近坐標(biāo)軸，但永遠(yuǎn)達(dá)不到坐標(biāo)軸。

反比例的畫法分三個步驟：⑴列表;⑵描點;⑶連線。

再作反比例函數(shù)的圖像時應(yīng)注意以下幾點：

①列表時選取的數(shù)值宜對稱選取;

②列表時選取的數(shù)值越多，畫的圖像越精確;

③連線時，必須根據(jù)自變量大小從左至右(或從右至左)用光滑的曲線連接，切忌畫成折線;

④畫圖像時，它的兩個分支應(yīng)全部畫出，但切忌將圖像與坐標(biāo)軸相交。