一道不等式證明問(wèn)題的感想
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時(shí)間：
不等式的證明對(duì)高中學(xué)生來(lái)講是難點(diǎn)，因?yàn)椴坏攘筷P(guān)系比等量關(guān)系難以理解更不好利用，再加上不等量變形的技巧妙趣無(wú)窮，下面這道不等式的證明將給你一種全新的感覺(jué)。
例題：設(shè)a∈R，函數(shù)f(x)=ax2+x―a(―1≤x≤1)，若|a|≤1，證明：|f(x)|≤5/4。
一、 構(gòu)造意識(shí)為主線，合理放縮是關(guān)鍵。分析：最大值是5/4，構(gòu)造二次函數(shù)達(dá)到目標(biāo)是比較理想的結(jié)果，只是條件；|x|≤1,∣a∣≤1不好利用，只有巧妙的放縮才能完成二次函數(shù)的構(gòu)造。
證明一：|x|≤1,|a|≤1.|f(x)|=|a(x2―1)+x|≤|a(x2―1)|+|x|=|a||x2―1|+|x|≤|x2―1|+|x|=|1― x2|+|x|=1―(|x|)2+|x|=―(|x|―1/2)2+5/4≤5/4
二、 標(biāo)準(zhǔn)模型為目標(biāo)，合理?yè)Q元是高招。分析：要證|f(x)|≤5/4 ，只需證 ―5/4≤f(x)≤5/4。這是常規(guī)的思路，尋此思路再附以恰當(dāng)?shù)膿Q元不難找到證明方法。
證明二：∵|a|≤1，|x|≤1， 可設(shè) x= sinα， a=cosβ ，α，β∈R
則f(x)= cosβsin2α+ sinα―cosβ=cosβ(sin2α―1)+ sinα
∵―1≤ cosβ≤1， ―1≤sin2α―1≤0
∴ sin2α+sinα―1≤f(x)≤―sin2α+sinα+1，
即( sinα+1/2)2-5/4≤f(x)≤―(sinα―1/2)2+5/4 ∴―5/4≤f(x)≤5/4
∴|f(x)|≤5/4。
三、 一次函數(shù)霧里現(xiàn)，比較大小看增減。分析：f(x)的解析式中把a(bǔ)當(dāng)成自變量就是一次函數(shù)，并且斜率為負(fù)數(shù)或0，由函數(shù)的單調(diào)性f(x)的取值范圍（不等關(guān)系）容易找到。
證明三：f(x)= a（x2―1）+x看作是a的一次函數(shù)g(a)，
由|x|≤1得（斜率）x2―1≤0
（1） 當(dāng)x2―1＜0 時(shí)，關(guān)于a的一次函數(shù)g(a) =f(x)是減函數(shù)，
∴g(1)≤f(x)≤g(―1)
∴ x2―1+x≤f(x)≤―（x2―1）+x ，
∴ (x+1/2)2―5/4≤f(x)≤―(x―1/2)2+5/4
∴―5/4≤f(x)≤5/4 ∴|f(x)|≤5/4。
（2）當(dāng)x2―1=0時(shí)， g(a) =f(x)= x
∴∣f(x)∣=|x|≤1，顯然|f(x)|≤5/4。綜上可知|f(x)|≤5/4。
四、變量轉(zhuǎn)換出新意，綱舉目張非奇跡。
分析：把變量a當(dāng)成主線，變量a的范圍可以牽出f(x)的范圍，它體現(xiàn)出變量轉(zhuǎn)換的神奇，當(dāng)然這并不影響變量之間的內(nèi)在聯(lián)系，卻為不等式的構(gòu)造開(kāi)辟了新的途徑。
證明四：（1）當(dāng)x2―1＜0 時(shí)，f(x)=ax2+x―a變形為：a= (f(x)―x)/ (x2―1),
∵|a|≤1，∴|(f(x)―x)/ (x2―1)|≤1 ∴ ―1 ≤(f(x)―x)/ (x2―1)≤1 ，
去分母得：x2―1+x≤f(x)≤―（x2―1）+x
∴ (x+1/2)2―5/4≤f(x)≤―(x―1/2)2+5/4
∴―5/4≤f(x)≤5/4
（2）當(dāng)x2―1=0時(shí)，f(x)=x∴|f(x)|=|x|≤1，顯然|f(x)|≤5/4。
綜上可知|f(x)|≤5/4。
五、 常規(guī)思路也見(jiàn)效，分類討論須知道。
分析：這本來(lái)就是二次函數(shù)f(x)在閉區(qū)間（x∈[―1,1]）內(nèi)極值的問(wèn)題，只要就對(duì)稱軸 (x=―1/2a)的不同位置分別討論就可得到結(jié)論，當(dāng)a=0時(shí)f(x)為一次函數(shù)也不要忘記。
證明五：函數(shù)f(x)=ax2+x―a(―1≤x≤1)，
（1） 當(dāng)a=0時(shí)， f(x)=x∴|f(x)|=|x|≤1，結(jié)論顯然成立。
（2）當(dāng)a≠0時(shí)，二次函數(shù)f(x)=ax2+x―a(―1≤x≤1)的對(duì)稱軸是x=―1/2a，由于|a|≤1 ，x=―1/2a∈（―∞，―1/2]∪[1/2，∞）①當(dāng)|―1/2a|≥1時(shí)，無(wú)論二次函數(shù)f(x)=ax2+x―a(―1≤x≤1)圖象開(kāi)口如何，x∈[―1,1]都是單調(diào)區(qū)間，必然有|f(x)|≤|f(1)|或|f(x)|≤|f(―1)|，而|f(±1)|=1，∴|f(x)|≤5/4顯然成立。②當(dāng)|―1/2a|﹤1時(shí)，二次函數(shù)f(x)=ax2+x―a=a(x+1/2a)2－(4a2+1)/4a(―1≤x≤1)（端點(diǎn)處已無(wú)須考慮），在頂點(diǎn)處|f(x)|=|(4a2+1)/4a|=|a+1/4a|≤5/4,a=±1時(shí)“=”成立。綜上可知|f(x)|≤5/4。
不等式的證明本來(lái)就沒(méi)有一定的模式，是發(fā)揮學(xué)生想象力的領(lǐng)域，上面五種方法充分做到了這些。
例題：設(shè)a∈R，函數(shù)f(x)=ax2+x―a(―1≤x≤1)，若|a|≤1，證明：|f(x)|≤5/4。
一、 構(gòu)造意識(shí)為主線，合理放縮是關(guān)鍵。分析：最大值是5/4，構(gòu)造二次函數(shù)達(dá)到目標(biāo)是比較理想的結(jié)果，只是條件；|x|≤1,∣a∣≤1不好利用，只有巧妙的放縮才能完成二次函數(shù)的構(gòu)造。
證明一：|x|≤1,|a|≤1.|f(x)|=|a(x2―1)+x|≤|a(x2―1)|+|x|=|a||x2―1|+|x|≤|x2―1|+|x|=|1― x2|+|x|=1―(|x|)2+|x|=―(|x|―1/2)2+5/4≤5/4
二、 標(biāo)準(zhǔn)模型為目標(biāo)，合理?yè)Q元是高招。分析：要證|f(x)|≤5/4 ，只需證 ―5/4≤f(x)≤5/4。這是常規(guī)的思路，尋此思路再附以恰當(dāng)?shù)膿Q元不難找到證明方法。
證明二：∵|a|≤1，|x|≤1， 可設(shè) x= sinα， a=cosβ ，α，β∈R
則f(x)= cosβsin2α+ sinα―cosβ=cosβ(sin2α―1)+ sinα
∵―1≤ cosβ≤1， ―1≤sin2α―1≤0
∴ sin2α+sinα―1≤f(x)≤―sin2α+sinα+1，
即( sinα+1/2)2-5/4≤f(x)≤―(sinα―1/2)2+5/4 ∴―5/4≤f(x)≤5/4
∴|f(x)|≤5/4。
三、 一次函數(shù)霧里現(xiàn)，比較大小看增減。分析：f(x)的解析式中把a(bǔ)當(dāng)成自變量就是一次函數(shù)，并且斜率為負(fù)數(shù)或0，由函數(shù)的單調(diào)性f(x)的取值范圍（不等關(guān)系）容易找到。
證明三：f(x)= a（x2―1）+x看作是a的一次函數(shù)g(a)，
由|x|≤1得（斜率）x2―1≤0
（1） 當(dāng)x2―1＜0 時(shí)，關(guān)于a的一次函數(shù)g(a) =f(x)是減函數(shù)，
∴g(1)≤f(x)≤g(―1)
∴ x2―1+x≤f(x)≤―（x2―1）+x ，
∴ (x+1/2)2―5/4≤f(x)≤―(x―1/2)2+5/4
∴―5/4≤f(x)≤5/4 ∴|f(x)|≤5/4。
（2）當(dāng)x2―1=0時(shí)， g(a) =f(x)= x
∴∣f(x)∣=|x|≤1，顯然|f(x)|≤5/4。綜上可知|f(x)|≤5/4。
四、變量轉(zhuǎn)換出新意，綱舉目張非奇跡。
分析：把變量a當(dāng)成主線，變量a的范圍可以牽出f(x)的范圍，它體現(xiàn)出變量轉(zhuǎn)換的神奇，當(dāng)然這并不影響變量之間的內(nèi)在聯(lián)系，卻為不等式的構(gòu)造開(kāi)辟了新的途徑。
證明四：（1）當(dāng)x2―1＜0 時(shí)，f(x)=ax2+x―a變形為：a= (f(x)―x)/ (x2―1),
∵|a|≤1，∴|(f(x)―x)/ (x2―1)|≤1 ∴ ―1 ≤(f(x)―x)/ (x2―1)≤1 ，
去分母得：x2―1+x≤f(x)≤―（x2―1）+x
∴ (x+1/2)2―5/4≤f(x)≤―(x―1/2)2+5/4
∴―5/4≤f(x)≤5/4
（2）當(dāng)x2―1=0時(shí)，f(x)=x∴|f(x)|=|x|≤1，顯然|f(x)|≤5/4。
綜上可知|f(x)|≤5/4。
五、 常規(guī)思路也見(jiàn)效，分類討論須知道。
分析：這本來(lái)就是二次函數(shù)f(x)在閉區(qū)間（x∈[―1,1]）內(nèi)極值的問(wèn)題，只要就對(duì)稱軸 (x=―1/2a)的不同位置分別討論就可得到結(jié)論，當(dāng)a=0時(shí)f(x)為一次函數(shù)也不要忘記。
證明五：函數(shù)f(x)=ax2+x―a(―1≤x≤1)，
（1） 當(dāng)a=0時(shí)， f(x)=x∴|f(x)|=|x|≤1，結(jié)論顯然成立。
（2）當(dāng)a≠0時(shí)，二次函數(shù)f(x)=ax2+x―a(―1≤x≤1)的對(duì)稱軸是x=―1/2a，由于|a|≤1 ，x=―1/2a∈（―∞，―1/2]∪[1/2，∞）①當(dāng)|―1/2a|≥1時(shí)，無(wú)論二次函數(shù)f(x)=ax2+x―a(―1≤x≤1)圖象開(kāi)口如何，x∈[―1,1]都是單調(diào)區(qū)間，必然有|f(x)|≤|f(1)|或|f(x)|≤|f(―1)|，而|f(±1)|=1，∴|f(x)|≤5/4顯然成立。②當(dāng)|―1/2a|﹤1時(shí)，二次函數(shù)f(x)=ax2+x―a=a(x+1/2a)2－(4a2+1)/4a(―1≤x≤1)（端點(diǎn)處已無(wú)須考慮），在頂點(diǎn)處|f(x)|=|(4a2+1)/4a|=|a+1/4a|≤5/4,a=±1時(shí)“=”成立。綜上可知|f(x)|≤5/4。
不等式的證明本來(lái)就沒(méi)有一定的模式，是發(fā)揮學(xué)生想象力的領(lǐng)域，上面五種方法充分做到了這些。