三角函數(shù)單調(diào)性數(shù)學(xué)教案
三角函數(shù)單調(diào)性數(shù)學(xué)教案5篇
函數(shù)的單調(diào)性也可以叫做函數(shù)的增減性。當(dāng)函數(shù)f 的自變量在其定義區(qū)間內(nèi)增大時(shí)，函數(shù)值f也隨著增大，則稱該函數(shù)為在該區(qū)間上具有單調(diào)性。下面是小編為大家整理的三角函數(shù)單調(diào)性數(shù)學(xué)教案5篇，希望大家能有所收獲!
三角函數(shù)單調(diào)性數(shù)學(xué)教案1
教學(xué)準(zhǔn)備
教學(xué)目標(biāo)
1、知識與技能
(1)了解周期現(xiàn)象在現(xiàn)實(shí)中廣泛存在;(2)感受周期現(xiàn)象對實(shí)際工作的意義;(3)理解周期函數(shù)的概念;(4)能熟練地判斷簡單的實(shí)際問題的周期;(5)能利用周期函數(shù)定義進(jìn)行簡單運(yùn)用。
2、過程與方法
通過創(chuàng)設(shè)情境：單擺運(yùn)動(dòng)、時(shí)鐘的圓周運(yùn)動(dòng)、潮汐、波浪、四季變化等，讓學(xué)生感知周期現(xiàn)象;從數(shù)學(xué)的角度分析這種現(xiàn)象，就可以得到周期函數(shù)的定義;根據(jù)周期性的定義，再在實(shí)踐中加以應(yīng)用。
3、情感態(tài)度與價(jià)值觀
通過本節(jié)的學(xué)習(xí)，使同學(xué)們對周期現(xiàn)象有一個(gè)初步的認(rèn)識，感受生活中處處有數(shù)學(xué)，從而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的信心，學(xué)會(huì)運(yùn)用聯(lián)系的觀點(diǎn)認(rèn)識事物。
教學(xué)重難點(diǎn)
重點(diǎn):感受周期現(xiàn)象的存在，會(huì)判斷是否為周期現(xiàn)象。
難點(diǎn):周期函數(shù)概念的理解，以及簡單的應(yīng)用。
教學(xué)工具
投影儀
教學(xué)過程
【創(chuàng)設(shè)情境，揭示課題】
同學(xué)們：我們生活在海南島非常幸福，可以經(jīng)?？吹酱蠛＃找蔽覀兊那椴?。眾所周知，海水會(huì)發(fā)生潮汐現(xiàn)象，大約在每一晝夜的時(shí)間里，潮水會(huì)漲落兩次，這種現(xiàn)象就是我們今天要學(xué)到的周期現(xiàn)象。再比如，[取出一個(gè)鐘表,實(shí)際操作]我們發(fā)現(xiàn)鐘表上的時(shí)針、分針和秒針每經(jīng)過一周就會(huì)重復(fù)，這也是一種周期現(xiàn)象。所以，我們這節(jié)課要研究的主要內(nèi)容就是周期現(xiàn)象與周期函數(shù)。(板書課題)
【探究新知】
1.我們已經(jīng)知道，潮汐、鐘表都是一種周期現(xiàn)象，請同學(xué)們觀察錢塘江潮的圖片(投影圖片)，注意波浪是怎樣變化的?可見，波浪每隔一段時(shí)間會(huì)重復(fù)出現(xiàn)，這也是一種周期現(xiàn)象。請你舉出生活中存在周期現(xiàn)象的例子。(單擺運(yùn)動(dòng)、四季變化等)
(板書：一、我們生活中的周期現(xiàn)象)
2.那么我們怎樣從數(shù)學(xué)的角度研究周期現(xiàn)象呢?教師引導(dǎo)學(xué)生自主學(xué)習(xí)課本P3——P4的相關(guān)內(nèi)容，并思考回答下列問題：
①如何理解“散點(diǎn)圖”?
②圖1-1中橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)分別表示什么?
③如何理解圖1-1中的“H/m”和“t/h”?
④對于周期函數(shù)的定義，你的理解是怎樣?
以上問題都由學(xué)生來回答，教師加以點(diǎn)撥并總結(jié)：周期函數(shù)定義的理解要掌握三個(gè)條件，即存在不為0的常數(shù)T;x必須是定義域內(nèi)的任意值;f(x+T)=f(x)。
(板書：二、周期函數(shù)的概念)
3.[展示投影]練習(xí):
(1)已知函數(shù)f(x)滿足對定義域內(nèi)的任意x，均存在非零常數(shù)T，使得f(x+T)=f(x)。
求f(x+2T)，f(x+3T)
略解：f(x+2T)=f[(x+T)+T]=f(x+T)=f(x)
f(x+3T)=f[(x+2T)+T]=f(x+2T)=f(x)
本題小結(jié)，由學(xué)生完成，總結(jié)出“周期函數(shù)的周期有無數(shù)個(gè)”，教師指出一般情況下，為避免引起混淆，特指最小正周期。
(2)已知函數(shù)f(x)是R上的周期為5的周期函數(shù)，且f(1)=2005,求f(11)
略解：f(11)=f(6+5)=f(6)=f(1+5)=f(1)=2005
(3)已知奇函數(shù)f(x)是R上的函數(shù)，且f(1)=2，f(x+3)=f(x)，求f(8)
略解：f(8)=f(2+2×3)=f(2)=f(-1+3)=f(-1)=-f(1)=-2
【鞏固深化，發(fā)展思維】
1.請同學(xué)們先自主學(xué)習(xí)課本P4倒數(shù)第五行——P5倒數(shù)第四行，然后各個(gè)學(xué)習(xí)小組之間展開合作交流。
2.例題講評
例1.地球圍繞著太陽轉(zhuǎn)，地球到太陽的距離y是時(shí)間t的函數(shù)嗎?如果是，這個(gè)函數(shù)
y=f(t)是不是周期函數(shù)?
例2.圖1-4(見課本)是鐘擺的示意圖，擺心A到鉛垂線MN的距離y是時(shí)間t的函數(shù)，y=g(t)。根據(jù)鐘擺的知識，容易說明g(t+T)=g(t),其中T為鐘擺擺動(dòng)一周(往返一次)所需的時(shí)間，函數(shù)y=g(t)是周期函數(shù)。若以鐘擺偏離鉛垂線MN的角θ的度數(shù)為變量，根據(jù)物理知識，擺心A到鉛垂線MN的距離y也是θ的周期函數(shù)。
例3.圖1-5(見課本)是水車的示意圖，水車上A點(diǎn)到水面的距離y是時(shí)間t的函數(shù)。假設(shè)水車5min轉(zhuǎn)一圈，那么y的值每經(jīng)過5min就會(huì)重復(fù)出現(xiàn)，因此，該函數(shù)是周期函數(shù)。
3.小組課堂作業(yè)
(1)課本P6的思考與交流
(2)(回答)今天是星期三那么7k(k∈Z)天后的那一天是星期幾?7k(k∈Z)天前的那一天是星期幾?100天后的那一天是星期幾?
五、歸納整理，整體認(rèn)識
(1)請學(xué)生回顧本節(jié)課所學(xué)過的知識內(nèi)容有哪些?所涉及到的主要數(shù)學(xué)思想方法有那些?
(2)在本節(jié)課的學(xué)習(xí)過程中，還有那些不太明白的地方，請向老師提出。
(3)你在這節(jié)課中的表現(xiàn)怎樣?你的體會(huì)是什么?
六、布置作業(yè)
1.作業(yè)：習(xí)題1.1第1,2,3題.
2.多觀察一些日常生活中的周期現(xiàn)象的例子，進(jìn)一步理解它的特點(diǎn).
課后小結(jié)
歸納整理，整體認(rèn)識
(1)請學(xué)生回顧本節(jié)課所學(xué)過的知識內(nèi)容有哪些?所涉及到的主要數(shù)學(xué)思想方法有那些?
(2)在本節(jié)課的學(xué)習(xí)過程中，還有那些不太明白的地方，請向老師提出。
(3)你在這節(jié)課中的表現(xiàn)怎樣?你的體會(huì)是什么?
課后習(xí)題
作業(yè)
1.作業(yè)：習(xí)題1.1第1,2,3題.
2.多觀察一些日常生活中的周期現(xiàn)象的例子，進(jìn)一步理解它的特點(diǎn).
板書
略
三角函數(shù)單調(diào)性數(shù)學(xué)教案2
教學(xué)準(zhǔn)備
教學(xué)目標(biāo)
1、知識與技能
(1)理解并掌握正弦函數(shù)的定義域、值域、周期性、(小)值、單調(diào)性、奇偶性;
(2)能熟練運(yùn)用正弦函數(shù)的性質(zhì)解題。
2、過程與方法
通過正弦函數(shù)在R上的圖像，讓學(xué)生探索出正弦函數(shù)的性質(zhì);講解例題，總結(jié)方法，鞏固練習(xí)。
3、情感態(tài)度與價(jià)值觀
通過本節(jié)的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力、探索歸納能力;讓學(xué)生體驗(yàn)自身探索成功的喜悅感，培養(yǎng)學(xué)生的自信心;使學(xué)生認(rèn)識到轉(zhuǎn)化“矛盾”是解決問題的有效途經(jīng);培養(yǎng)學(xué)生形成實(shí)事求是的科學(xué)態(tài)度和鍥而不舍的鉆研精神。
教學(xué)重難點(diǎn)
重點(diǎn):正弦函數(shù)的性質(zhì)。
難點(diǎn):正弦函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用。
教學(xué)工具
投影儀
教學(xué)過程
【創(chuàng)設(shè)情境，揭示課題】
同學(xué)們，我們在數(shù)學(xué)一中已經(jīng)學(xué)過函數(shù)，并掌握了討論一個(gè)函數(shù)性質(zhì)的幾個(gè)角度，你還記得有哪些嗎?在上一次課中，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了正弦函數(shù)的y=sinx在R上圖像，下面請同學(xué)們根據(jù)圖像一起討論一下它具有哪些性質(zhì)?
【探究新知】
讓學(xué)生一邊看投影，一邊仔細(xì)觀察正弦曲線的圖像，并思考以下幾個(gè)問題：
(1)正弦函數(shù)的定義域是什么?
(2)正弦函數(shù)的值域是什么?
(3)它的最值情況如何?
(4)它的正負(fù)值區(qū)間如何分?
(5)?(x)=0的解集是多少?
師生一起歸納得出：
1.定義域：y=sinx的定義域?yàn)镽
2.值域：引導(dǎo)回憶單位圓中的正弦函數(shù)線，結(jié)論：|sinx|≤1(有界性)
再看正弦函數(shù)線(圖象)驗(yàn)證上述結(jié)論，所以y=sinx的值域?yàn)閇-1，1]
三角函數(shù)單調(diào)性數(shù)學(xué)教案3
教學(xué)目標(biāo)
會(huì)運(yùn)用圖象判斷單調(diào)性;理解函數(shù)的單調(diào)性，能判斷或證明一些簡單函數(shù)單調(diào)性;注意必須在定義域內(nèi)或其子集內(nèi)討論函數(shù)的單調(diào)性。
重 點(diǎn)
函數(shù)單調(diào)性的證明及判斷。
難 點(diǎn)
函數(shù)單調(diào)性證明及其應(yīng)用。
一、復(fù)習(xí)引入
1、函數(shù)的定義域、值域、圖象、表示方法
2、函數(shù)單調(diào)性
(1)單調(diào)增函數(shù)
(2)單調(diào)減函數(shù)
(3)單調(diào)區(qū)間
二、例題分析
例
1、畫出下列函數(shù)圖象，并寫出單調(diào)區(qū)間：
(1) (2) (2)
例
2、求證：函數(shù) 在區(qū)間 上是單調(diào)增函數(shù)。
例
3、討論函數(shù) 的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論。
變(1)討論函數(shù) 的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論
變(2)討論函數(shù) 的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論。
例
4、試判斷函數(shù) 在 上的單調(diào)性。
三、隨堂練習(xí)
1、判斷下列說法正確的是 。
(1)若定義在 上的函數(shù) 滿足 ，則函數(shù) 是 上的單調(diào)增函數(shù);
(2)若定義在 上的函數(shù) 滿足 ，則函數(shù) 在 上不是單調(diào)減函數(shù);
(3)若定義在 上的函數(shù) 在區(qū)間 上是單調(diào)增函數(shù)，在區(qū)間 上也是單調(diào)增函數(shù)，則函數(shù) 是 上的單調(diào)增函數(shù);
(4)若定義在 上的函數(shù) 在區(qū)間 上是單調(diào)增函數(shù)，在區(qū)間 上也是單調(diào)增函數(shù)，則函數(shù) 是 上的單調(diào)增函數(shù)。
2、若一次函數(shù) 在 上是單調(diào)減函數(shù)，則點(diǎn) 在直角坐標(biāo)平面的( )
A.上半平面 B.下半平面 C.左半平面 D.右半平面
3、函數(shù) 在 上是___ ___;函數(shù) 在 上是__ _____。
3.下圖分別為函數(shù) 和 的圖象，求函數(shù) 和 的單調(diào)增區(qū)間。
4、求證：函數(shù) 是定義域上的單調(diào)減函數(shù)。
四、回顧小結(jié)
1、函數(shù)單調(diào)性的判斷及證明。
課后作業(yè)
一、基礎(chǔ)題
1、求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間
(1) (2)
2、畫函數(shù) 的圖象，并寫出單調(diào)區(qū)間。
二、提高題
3、求證：函數(shù) 在 上是單調(diào)增函數(shù)。
4、若函數(shù) ，求函數(shù) 的單調(diào)區(qū)間。
5、若函數(shù) 在 上是增函數(shù)，在 上是減函數(shù)，試比較 與 的大小。
三、能力題
6、已知函數(shù) ，試討論函數(shù)f(x)在區(qū)間 上的單調(diào)性。
變(1)已知函數(shù) ，試討論函數(shù)f(x)在區(qū)間 上的單調(diào)性。
三角函數(shù)單調(diào)性數(shù)學(xué)教案4
教學(xué)目標(biāo)
1.使學(xué)生理解函數(shù)單調(diào)性的概念，并能判斷一些簡單函數(shù)在給定區(qū)間上的單調(diào)性. 2.通過函數(shù)單調(diào)性概念的教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生分析問題、認(rèn)識問題的能力.通過例題培養(yǎng)學(xué)生利用定義進(jìn)行推理的邏輯思維能力.
3.通過本節(jié)課的教學(xué)，滲透數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，對學(xué)生進(jìn)行辯證唯物主義的教育.
教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)
教學(xué)重點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的概念. 教學(xué)難點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的判定.
教學(xué)過程設(shè)計(jì)
一、引入新課
師：請同學(xué)們觀察下面兩組在相應(yīng)區(qū)間上的函數(shù)，然后指出這兩組函數(shù)之間在性質(zhì)上的主要區(qū)別是什么?
(用投影幻燈給出兩組函數(shù)的圖象.) 第一組：
第二組：
生：第一組函數(shù)，函數(shù)值y隨x的增大而增大;第二組函數(shù)，函數(shù)值y隨x的增大而減小.
師：(手執(zhí)投影棒使之沿曲線移動(dòng))對.他(她)答得很好，這正是兩組函數(shù)的主要區(qū)別.當(dāng)x變大時(shí)，第一組函數(shù)的函數(shù)值都變大，而第二組函數(shù)的函數(shù)值都變小.雖然在每一組函數(shù)中，函數(shù)值變大或變小的方式并不相同，但每一組函數(shù)卻具有一種共同的性質(zhì).我們在學(xué)習(xí)一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)以及冪函數(shù)時(shí)，就曾經(jīng)根據(jù)函數(shù)的圖象研究過函數(shù)的函數(shù)值隨自變量的變大而變大或變小的性質(zhì).而這些研究結(jié)論是直觀地由圖象得到的.在函數(shù)的集合中，有很多函數(shù)具有這種性質(zhì)，因此我們有必要對函數(shù)這種性質(zhì)作更進(jìn)一步的一般性的討論和研究，這就是我們今天這一節(jié)課的內(nèi)容.
(點(diǎn)明本節(jié)課的內(nèi)容，既是曾經(jīng)有所認(rèn)識的，又是新的知識，引起學(xué)生的注意.)
二、對概念的分析
(板書課題：函數(shù)的單調(diào)性)
師：請同學(xué)們打開課本第51頁，請__同學(xué)把增函數(shù)、減函數(shù)、單調(diào)區(qū)間的定義朗讀一遍.
(學(xué)生朗讀.)
師：好，請坐.通過剛才閱讀增函數(shù)和減函數(shù)的定義，請同學(xué)們思考一個(gè)問題：這種定義方法和我們剛才所討論的函數(shù)值y隨自變量x的增大而增大或減小是否一致?如果一致，定義中是怎樣描述的?
生：我認(rèn)為是一致的.定義中的“當(dāng)增大而增大;“當(dāng)
時(shí)，都有
時(shí)，都有
”描述了y隨x的
”描述了y隨x的增大而減少.
”和“
或師：說得非常正確.定義中用了兩個(gè)簡單的不等關(guān)系“”，它刻劃了函數(shù)的單調(diào)遞增或單調(diào)遞減的性質(zhì).這就是數(shù)學(xué)的魅力!
(通過教師的情緒感染學(xué)生，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.) 師：現(xiàn)在請同學(xué)們和我一起來看剛才的兩組圖中的第一個(gè)函數(shù)圖象，體會(huì)這種魅力.
和
的
(指圖說明.) 師：圖中因此而圖中因此對于區(qū)間[a，b]上的任意，，當(dāng)
時(shí)，都有，的單調(diào)增區(qū)間;，的單調(diào)減區(qū)間. 在區(qū)間[a，b]上是單調(diào)遞增的，區(qū)間[a，b]是函數(shù)對于區(qū)間[a，b]上的任意，，當(dāng)時(shí)，都有在區(qū)間[a，b]上是單調(diào)遞減的，區(qū)間[a，b]是函數(shù)(教師指圖說明分析定義，使學(xué)生把函數(shù)單調(diào)性的定義與直觀圖象結(jié)合起來，使新舊知識融為一體，加深對概念的理解.滲透數(shù)形結(jié)合分析問題的數(shù)學(xué)思想方法.)
師：因此我們可以說，增函數(shù)就其本質(zhì)而言是在相應(yīng)區(qū)間上較大的自變量對應(yīng)?? (不把話說完，指一名學(xué)生接著說完，讓學(xué)生的思維始終跟著老師.) 生：較大的函數(shù)值的函數(shù). 師：那么減函數(shù)呢?
生：減函數(shù)就其本質(zhì)而言是在相應(yīng)區(qū)間上較大的自變量對應(yīng)較小的函數(shù)值的函數(shù). (學(xué)生可能回答得不完整，教師應(yīng)指導(dǎo)他說完整.) 師：好.我們剛剛以增函數(shù)和減函數(shù)的定義作了初步的分析，通過閱讀和分析你認(rèn)為在定義中我們應(yīng)該抓住哪些關(guān)鍵詞語，才能更透徹地認(rèn)識定義?
(學(xué)生思索.)
學(xué)生在高中階段以至在以后的學(xué)習(xí)中經(jīng)常會(huì)遇到一些概念(或定義)，能否抓住定義中的關(guān)鍵詞語，是能否正確地、深入地理解和掌握概念的重要條件，更是學(xué)好數(shù)學(xué)及其他各學(xué)科的重要一環(huán).因此教師應(yīng)該教會(huì)學(xué)生如何深入理解一個(gè)概念，以培養(yǎng)學(xué)生分析問題，認(rèn)識問題的能力.
(教師在學(xué)生思索過程中，再一次有感情地朗讀定義，并注意在關(guān)鍵詞語處適當(dāng)加重語氣.在學(xué)生感到無從下手時(shí)，給以適當(dāng)?shù)奶崾?)
生：我認(rèn)為在定義中，有一個(gè)詞“給定區(qū)間”是定義中的關(guān)鍵詞語.
師：很好，我們在學(xué)習(xí)任何一個(gè)概念的時(shí)候，都要善于抓住定義中的關(guān)鍵詞語，在學(xué)習(xí)幾個(gè)相近的概念時(shí)還要注意區(qū)別它們之間的不同.增函數(shù)和減函數(shù)都是對相應(yīng)的區(qū)間而言的，離開了相應(yīng)的區(qū)間就根本談不上函數(shù)的增減性.請大家思考一個(gè)問題，我們能否說一個(gè)函數(shù)在x=5時(shí)是遞增或遞減的?為什么?
生：不能.因?yàn)榇藭r(shí)函數(shù)值是一個(gè)數(shù).
師：對.函數(shù)在某一點(diǎn)，由于它的函數(shù)值是唯一確定的常數(shù)(注意這四個(gè)字“唯一確定”)，因而沒有增減的變化.那么，我們能不能脫離區(qū)間泛泛談?wù)撃骋粋€(gè)函數(shù)是增函數(shù)或是減函數(shù)呢?你能否舉一個(gè)我們學(xué)過的例子?
生：不能.比如二次函數(shù)而我們不能說
，在y軸左側(cè)它是減函數(shù)，在y軸右側(cè)它是增函數(shù).因是增函數(shù)或是減函數(shù).
的圖像，從“形”上感知.) (在學(xué)生回答問題時(shí)，教師板演函數(shù)師：好.他(她)舉了一個(gè)例子來幫助我們理解定義中的詞語“給定區(qū)間”.這說明函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)在某一個(gè)區(qū)間上的性質(zhì)，但這不排斥有些函數(shù)在其定義域內(nèi)都是增函數(shù)或減函數(shù).因此，今后我們在談?wù)摵瘮?shù)的增減性時(shí)必須指明相應(yīng)的區(qū)間.
師：還有沒有其他的關(guān)鍵詞語?
生：還有定義中的“屬于這個(gè)區(qū)間的任意兩個(gè)”和“都有”也是關(guān)鍵詞語. 師：你答的很對.能解釋一下為什么嗎? (學(xué)生不一定能答全，教師應(yīng)給予必要的提示.) 師：“屬于”是什么意思? 生：就是說兩個(gè)自變量生：可以.
師：那么“任意”和“都有”又如何理解?
生：“任意”就是指不能取特定的值來判斷函數(shù)的增減性，而“都有”則是說只要，就必須都小于，或都大于.，
必須取自給定的區(qū)間，不能從其他區(qū)間上取.師：如果是閉區(qū)間的話，能否取自區(qū)間端點(diǎn)?師：能不能構(gòu)造一個(gè)反例來說明“任意”呢? (讓學(xué)生思考片刻.) 生：可以構(gòu)造一個(gè)反例.考察函數(shù)，定，顯然，而，在區(qū)間[-2，2]上，如果取兩個(gè)特定的值，，有，若由此判是[-2，2]上的減函數(shù)，那就錯(cuò)了. 師：那么如何來說明“都有”呢? 生：在[-2，2]上，當(dāng)，這時(shí)就不能說，時(shí)，有;當(dāng)，時(shí)，有，在[-2，2]上是增函數(shù)或減函數(shù).
師：好極了!通過分析定義和舉反例，我們知道要判斷函數(shù)y=f(x)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)或減函數(shù)，不能由特定的兩個(gè)點(diǎn)的情況來判斷，而必須嚴(yán)格依照定義在給定區(qū)間內(nèi)任取兩個(gè)自變量，，根據(jù)它們的函數(shù)值和的大小來判定函數(shù)的增減性.
(教師通過一系列的設(shè)問，使學(xué)生處于積極的思維狀態(tài)，從抽象到具體，并通過反例的反襯，使學(xué)生加深對定義的理解.在概念教學(xué)中，反例常常幫助學(xué)生更深刻地理解概念，鍛煉學(xué)生的發(fā)散思維能力.)
師：反過來，如果我們已知f(x)在某個(gè)區(qū)間上是增函數(shù)或是減函數(shù)，那么，我們就可以通過自變量的大小去判定函數(shù)值的大小，也可以由函數(shù)值的大小去判定自變量的大小.即一般成立則特殊成立，反之，特殊成立，一般不一定成立.這恰是辯證法中一般和特殊的關(guān)系.
(用辯證法的原理來解釋數(shù)學(xué)知識，同時(shí)用數(shù)學(xué)知識去理解辯證法的原理，這樣的分析，有助于深入地理解和掌握概念，分清概念的內(nèi)涵和外延，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)的能力.)
三、概念的應(yīng)用
例1 圖4所示的是定義在閉區(qū)間[-5，5]上的函數(shù)f(x)的圖象，根據(jù)圖象說出f(x)的單調(diào)區(qū)間，并回答：在每一個(gè)單調(diào)區(qū)間上，f(x)是增函數(shù)還是減函數(shù)?
(用投影幻燈給出圖象.)
生甲：函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[-5，-2]，[1，3]上是減函數(shù)，因此[-5，-2]，[1，3]是函數(shù)y=f(x)的單調(diào)減區(qū)間;在區(qū)間[-2，1]，[3，5]上是增函數(shù)，因此[-2，1]，[3，5]是函數(shù)y=f(x)的單調(diào)增區(qū)間.
生乙：我有一個(gè)問題，[-5，-2]是函數(shù)f(x)的單調(diào)減區(qū)間，那么，是否可認(rèn)為(-5，-2)也是f(x)的單調(diào)減區(qū)間呢? 師：問得好.這說明你想的很仔細(xì)，思考問題很嚴(yán)謹(jǐn).容易證明：若f(x)在[a，b]上單調(diào)(增或減)，則f(x)在(a，b)上單調(diào)(增或減).反之不然，你能舉出反例嗎?一般來說.若f(x)在[a，b]上單調(diào)(增或減)，且[](增或減).反之不然.
例2 證明函數(shù)f(x)=3x+2在(-∞，+∞)上是增函數(shù).
師：從函數(shù)圖象上觀察函數(shù)的單調(diào)性固然形象，但在理論上不夠嚴(yán)格，尤其是有些函數(shù)不易畫出圖象，因此必須學(xué)會(huì)根據(jù)解析式和定義從數(shù)量上分析辨認(rèn)，這才是我們研究函數(shù)單調(diào)性的基本途徑.
(指出用定義證明的必要性.)
師：怎樣用定義證明呢?請同學(xué)們思考后在筆記本上寫出證明過程.
(教師巡視，并指定一名中等水平的學(xué)生在黑板上板演.學(xué)生可能會(huì)對如何比較和的大小關(guān)系感到無從入手，教師應(yīng)給以啟發(fā).) 師：對于和
我們?nèi)绾伪容^它們的大小呢?我們知道對兩個(gè)實(shí)數(shù)a，b，如果，][a，b]，則f(x)在[，a>b，那么它們的差a-b就大于零;如果a=b，那么它們的差a—b就等于零;如果a<b，那么它們的差a-b就小于零，反之也成立.因此我們可由差的符號來決定兩個(gè)數(shù)的大小關(guān)系.< p="">
生：(板演)設(shè)，是(-∞，+∞)上任意兩個(gè)自變量，當(dāng)，所以f(x)是增函數(shù).
師：他的證明思路是清楚的.一開始設(shè)設(shè)，是(-∞，+∞)內(nèi)任意兩個(gè)自變量，并時(shí)，
(邊說邊用彩色粉筆在相應(yīng)的語句下劃線，并標(biāo)注“①→設(shè)”)，然后看，這一步是證明的關(guān)鍵，再對式子進(jìn)行變形，一般方法是分解因式或配成完全平方的形式，這一步可概括為“作差，變形”(同上，劃線并標(biāo)注”②→作差，變形”).但美中不足的是他沒能說明為什么
<0，沒有用到開始的假設(shè)“”，不要以為其顯而易見，在這里一定要對變形后的式子說明其符號.應(yīng)寫明“因?yàn)閤1<x2，所以，從而<0，即.”這一步可概括為“定符號”(在黑板上板演，并注明“③→定符號”).最后，作為證明題一定要有結(jié)論，我們把它稱之為第四步“下結(jié)論”(在相應(yīng)位置標(biāo)注“④→下結(jié)論”).< p="">
這就是我們用定義證明函數(shù)增減性的四個(gè)步驟，請同學(xué)們記住.需要指出的是第二步，如果函數(shù)y=f(x)在給定區(qū)間上恒大于零，也可以
小.
(對學(xué)生的做法進(jìn)行分析，把證明過程步驟化，可以形成思維的定勢.在學(xué)生剛剛接觸一個(gè)新的知識時(shí)，思維定勢對理解知識本身是有益的，同時(shí)對學(xué)生養(yǎng)成一定的思維習(xí)慣，形成一定的解題思路也是有幫助的.)
調(diào)函數(shù)嗎?并用定義證明你的結(jié)論.
師：你的結(jié)論是什么呢?
上都是減函數(shù)，因此我覺得它在定義域(-∞，0)∪(0，+∞)上是減函數(shù). 生乙：我有不同的意見，我認(rèn)為這個(gè)函數(shù)不是整個(gè)定義域內(nèi)的減函數(shù)，因?yàn)樗环蠝p函數(shù)的定義.比如取x1∈(-∞，0)，取x2∈(0，+∞)，，顯然有，而不是顯然成立，而，，因此它不是定義域內(nèi)的減函數(shù).
生：也不能這樣認(rèn)為，因?yàn)橛蓤D象可知，它分別在(-∞，0)和(0，+∞)上都是減函數(shù).
域內(nèi)的增函數(shù)，也不是定義域內(nèi)的減函數(shù)，它在(-∞，0)和(0，+∞)每一個(gè)單調(diào)區(qū)間內(nèi)都是減函數(shù).因此在函數(shù)的幾個(gè)單調(diào)增(減)區(qū)間之間不要用符號“∪”連接.另外，x=0不是定義域中的元素，此時(shí)不要寫成閉區(qū)間.
上是減函數(shù).
(教師巡視.對學(xué)生證明中出現(xiàn)的問題給予點(diǎn)拔.可依據(jù)學(xué)生的問題，給出下面的提示： (1)分式問題化簡方法一般是通分. (2)要說明三個(gè)代數(shù)式的符號：k，，.
要注意在不等式兩邊同乘以一個(gè)負(fù)數(shù)的時(shí)候，不等號方向要改變.
對學(xué)生的解答進(jìn)行簡單的分析小結(jié)，點(diǎn)出學(xué)生在證明過程中所出現(xiàn)的問題，引起全體學(xué)生的重視.)
四、課堂小結(jié)
師：請同學(xué)小結(jié)一下這節(jié)課的主要內(nèi)容，有哪些是應(yīng)該特別注意的? (請一個(gè)思路清晰，善于表達(dá)的學(xué)生口述，教師可從中給予提示.)
生：這節(jié)課我們學(xué)習(xí)了函數(shù)單調(diào)性的定義，要特別注意定義中“給定區(qū)間”、“屬于”、“任意”、“都有”這幾個(gè)關(guān)鍵詞語;在寫單調(diào)區(qū)間時(shí)不要輕易用并集的符號連接;最后在用定義證明函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，應(yīng)該注意證明的四個(gè)步驟.
五、作業(yè)1.課本P53練習(xí)第1，2，3，4題.數(shù)..(_)+b>0.由此可知(_)式小于0，即.課堂教學(xué)設(shè)計(jì)說明函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的一個(gè)重要性質(zhì)，是研究函數(shù)時(shí)經(jīng)常要注意的一個(gè)性質(zhì).并且在比較幾個(gè)數(shù)的大小、對函數(shù)作定性分析、以及與其他知識的綜合應(yīng)用上都有廣泛的應(yīng)用.對學(xué)生來說，函數(shù)的單調(diào)性早已有所知，然而沒有給出過定義，只是從直觀上接觸過這一性質(zhì).學(xué)生對此有一定的感性認(rèn)識，對概念的理解有一定好處，但另一方面學(xué)生也會(huì)覺得是已經(jīng)學(xué)過的知識，感覺乏味.因此，在設(shè)計(jì)教案時(shí)，加強(qiáng)了對概念的分析，希望能夠使學(xué)生認(rèn)識到看似簡單的定義中有不少值得去推敲、去琢磨的東西，其中甚至包含著辯證法的原理.
另外，對概念的分析是在引進(jìn)一個(gè)新概念時(shí)必須要做的，對概念的深入的正確的理解往往是學(xué)生認(rèn)知過程中的難點(diǎn).因此在本教案的設(shè)計(jì)過程中突出對概念的分析不僅僅是為了分析函數(shù)單調(diào)性的定義，而且想讓學(xué)生對如何學(xué)會(huì)、弄懂一個(gè)概念有初步的認(rèn)識，并且在以后的學(xué)習(xí)中學(xué)有所用.
還有，使用函數(shù)單調(diào)性定義證明是一個(gè)難點(diǎn)，學(xué)生剛剛接觸這種證明方法，給出一定的步驟是必要的，有利于學(xué)生理解概念，也可以對學(xué)生掌握證明方法、形成證明思路有所幫助.另外，這也是以后要學(xué)習(xí)的不等式證明方法中的比較化的基本思路，現(xiàn)在提出要求，對今后的教學(xué)作一定的鋪墊.
三角函數(shù)單調(diào)性數(shù)學(xué)教案5
函數(shù)單調(diào)性是學(xué)生進(jìn)入高中后較早接觸到的一個(gè)完全形式化的抽象定義，對于仍然處于經(jīng)驗(yàn)型邏輯思維發(fā)展階段的高一學(xué)生來講，有較大的學(xué)習(xí)難度。一直以來，這節(jié)課也都是老師教學(xué)的難點(diǎn)。最近，在我區(qū)“青年教師評優(yōu)課”上，聽了多名教師對這節(jié)課不同風(fēng)格的課堂教學(xué)，通過對他們教學(xué)案例的研究和思考，筆者認(rèn)為，在函數(shù)單調(diào)性概念的教學(xué)中，關(guān)鍵是把握住如下三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)。
關(guān)鍵點(diǎn)1。學(xué)生 學(xué)習(xí)函數(shù)單調(diào)性的認(rèn)知基礎(chǔ)是什么?
在這個(gè)內(nèi)容之前，已經(jīng)教學(xué)過一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)等簡單函數(shù)，函數(shù)的變量定義和映射定義，以及函數(shù)的表示。對函數(shù)是一個(gè)刻畫某些運(yùn)動(dòng)變化數(shù)量關(guān)系的數(shù)學(xué)概念，也已經(jīng)形成初步認(rèn)識。接踵而來的任務(wù)是對函數(shù)應(yīng)該繼續(xù)研究什么。在數(shù)學(xué)研究中，建立一個(gè)數(shù)學(xué)概念的意義就是揭示它的本質(zhì)特征，即共同屬性或不變屬性。對各種函數(shù)模型而言，就是研究它們所描述的運(yùn)動(dòng)關(guān)系的變化規(guī)律，也就是這些運(yùn)動(dòng)關(guān)系在變化之中的共同屬性或不變屬性，即“變中不變”的性質(zhì)。按照這種科學(xué)研究的思維方式，使得當(dāng)前來討論函數(shù)的一些性質(zhì)，就成為順理成章的、必要的和有意義的數(shù)學(xué)活動(dòng)。至于在多種函數(shù)性質(zhì)中，選擇這個(gè)時(shí)機(jī)來討論函數(shù)的單調(diào)性而不是其他性質(zhì)，是因?yàn)楹瘮?shù)的單調(diào)性是學(xué)生從已經(jīng)學(xué)習(xí)的函數(shù)中比較容易發(fā)現(xiàn)的一個(gè)性質(zhì)。
就中小學(xué)生與單調(diào)性相關(guān)的經(jīng)歷而言，學(xué)生認(rèn)識函數(shù)單調(diào)性可以分為四個(gè)階段： 第一階段，經(jīng)驗(yàn)感知階段(小學(xué)階段)，知道一個(gè)量隨另一個(gè)量的變化而變化的具體情境，如“隨著年齡的增長，我的個(gè)子越來越高”，“我認(rèn)識的字越多，我的知識就越多”等。
第二階段，形象描述階段(初中階段)，能用抽象的語言描述一個(gè)量隨另一個(gè)量變化的趨勢，如“y隨著x的增大而減少”。
第三階段，抽象概括階段(高中必修1)，能進(jìn)行脫離具體和直觀對象的抽象化、符號化的概括，并通過具體函數(shù)，初步體會(huì)單調(diào)性在研究函數(shù)變化中的作用。
第四階段，認(rèn)識提升階段(高中選修系列
1、2)，要求學(xué)生能初步認(rèn)識導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的聯(lián)系。
基于上述認(rèn)識，函數(shù)單調(diào)性教學(xué)的引入應(yīng)該從學(xué)生的已有認(rèn)知出發(fā)，建立在學(xué)生初中已學(xué)的一次函數(shù)、二次函數(shù)以及反比例函數(shù)的基礎(chǔ)上，即從學(xué)生熟悉的常見函數(shù)的圖象出發(fā)，直觀感知函數(shù)的單調(diào)性，完成對函數(shù)單調(diào)性定義的第一次認(rèn)識.。
讓學(xué)生分別作出函數(shù)數(shù)值有什么變化規(guī)律?
的圖象，并且觀察自變量變化時(shí)，函在學(xué)生畫圖的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生觀察圖象，獲得信息：第一個(gè)圖象從左向右逐漸上升，y隨x的增大而增大;第二個(gè)圖象從左向右逐漸下降，y隨x的增大而減小.然后讓學(xué)生明確，對于自變量變化時(shí)，函數(shù)值具有這兩種變化規(guī)律的函數(shù)，我們分別稱為增函數(shù)和減函數(shù). 第三個(gè)函數(shù)圖象的上升與下降要分段說明，通過討論使學(xué)生明確函數(shù)的單調(diào)性是對定義域內(nèi)某個(gè)區(qū)間而言的.
在此基礎(chǔ)上，教師引導(dǎo)學(xué)生用自己的語言描述增函數(shù)的定義： 如果函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上的圖象從左向右逐漸上升，或者如果函數(shù)
在某個(gè)區(qū)間上隨自變量x的增大，y也越來越大，我們說函數(shù)在該區(qū)間上為增函數(shù).
關(guān)鍵點(diǎn)2。為什么要用數(shù)學(xué)的符號語言定義函數(shù)的單調(diào)性概念?
對于函數(shù)單調(diào)性概念的教學(xué)而言，有一個(gè)很重要的問題，即為什么要進(jìn)一步形式化。學(xué)生在初中已經(jīng)接觸過一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)，對函數(shù)的增減性已有初步的認(rèn)識：隨x增大y增大是增函數(shù)，隨x增大y 減小是減函數(shù)。這個(gè)觀念對他們而言是易于接受的，很形象，他們會(huì)覺得這樣的定義很好，為什么還要費(fèi)神去進(jìn)行符號化呢?如果教師能通過教學(xué)設(shè)計(jì)，讓學(xué)生感受到進(jìn)一步符號化、形式化的必要性，造成認(rèn)知沖突，則學(xué)生研究的興趣就會(huì)大大提高，主動(dòng)性也會(huì)更強(qiáng)。其實(shí)，數(shù)學(xué)概念就是一系列常識不斷精微化的結(jié)果，之所以要進(jìn)一步形式化，完全是數(shù)學(xué)精確性、嚴(yán)密性的要求，因?yàn)橹挥羞_(dá)到這種符號化、形式化的程度，才可以進(jìn)行準(zhǔn)確的計(jì)算，進(jìn)行推理論證。
所以，在教學(xué)中提出類似如下的問題是非常必要的：
右圖是函數(shù)函數(shù)嗎?
的圖象,能說出這個(gè)函數(shù)分別在哪個(gè)區(qū)間為增函數(shù)和減
對于這個(gè)問題，學(xué)生的困難是難以確定分界點(diǎn)的確切位置.通過討論，使學(xué)生感受到用函數(shù)圖象判斷函數(shù)單調(diào)性雖然比較直觀，但有時(shí)不夠精確，需要結(jié)合解析式進(jìn)行嚴(yán)密化、精確化的研究,使學(xué)生體會(huì)到用數(shù)量大小關(guān)系嚴(yán)格表述函數(shù)單調(diào)性的必要性，從而將函數(shù)的單調(diào)性研究從研究函數(shù)圖象過渡到研究函數(shù)的解析式. 關(guān)鍵點(diǎn)3：如何用形式化的語言定義函數(shù)的單調(diào)性?
從數(shù)學(xué)學(xué)科這個(gè)整體來看，數(shù)學(xué)的高度抽象性造成了數(shù)學(xué)的難懂、難教、難學(xué)，解決這一問題的基本途徑是順應(yīng)學(xué)習(xí)者的認(rèn)知規(guī)律：在需要和可能的情況下，盡量做到從直觀入手，從具體開始，逐步抽象，即數(shù)學(xué)的思考方式。恰當(dāng)運(yùn)用圖形語言、自然語言和符號化的形式語言，并進(jìn)行三者之間必要的轉(zhuǎn)化，可以說，這是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的基本思考方式。而函數(shù)單調(diào)性這一內(nèi)容正是體現(xiàn)數(shù)學(xué)基本思考方式的一個(gè)良好載體，教學(xué)中應(yīng)該充分關(guān)注到這一點(diǎn)。長此以往，便可使學(xué)生在學(xué)習(xí)知識的同時(shí)，學(xué)到比知識更重要的東西—學(xué)會(huì)如何思考?如何進(jìn)行數(shù)學(xué)的思考?
一般說，對函數(shù)單調(diào)性的建構(gòu)有兩個(gè)重要過程，一是建構(gòu)函數(shù)單調(diào)性的意義，二是通過思維構(gòu)造把這個(gè)意義用數(shù)學(xué)的形式化語言加以描述。對函數(shù)單調(diào)性的意義，學(xué)生通過對若干函數(shù)圖象的觀察并不難認(rèn)識，因此，前一過程的建構(gòu)學(xué)習(xí)相對比較容易進(jìn)行。后一過程的進(jìn)行則有相當(dāng)?shù)碾y度，其難就難在用數(shù)學(xué)的符合語言來描述函數(shù)單調(diào)性的定義時(shí)，如何才能最大限度地通過學(xué)生自己的思維活動(dòng)來完成。這其中有兩個(gè)難點(diǎn)：
(1)“x增大”如何用符號表示;同樣，“f(x)增大”如何用符號表示。 (2)“‘隨著’x增大，函數(shù)f(x)‘也’增大”，如何用符號表示。
用數(shù)學(xué)符號描述這兩種數(shù)學(xué)意義的最大要害之處，在于要用數(shù)學(xué)的符號來描述動(dòng)態(tài)的數(shù)學(xué)對象。
在初中數(shù)學(xué)中，除了學(xué)習(xí)函數(shù)的初級概念，用y=f(x)表示函數(shù)y隨著自變量x的變化而變化時(shí)，接觸到一點(diǎn)動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)對象的數(shù)學(xué)符號表示以外，絕大多數(shù)都是用數(shù)學(xué)符號表示靜態(tài)的數(shù)學(xué)對象。因此，從用靜態(tài)的數(shù)學(xué)符號描述靜態(tài)的數(shù)學(xué)對象，到用靜態(tài)的符號語言刻畫動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)對象，在思維能力層次上存在重大差異，對剛剛由初中進(jìn)入高中學(xué)習(xí)的學(xué)生而言，無疑是一個(gè)很大的挑戰(zhàn)!
三角函數(shù)單調(diào)性數(shù)學(xué)教案相關(guān)文章：
★ 高中高考數(shù)學(xué)專題高效答題模板匯總2021