關(guān)于余弦定理初中數(shù)學(xué)教案精選范文合集總匯

教學(xué)是一種創(chuàng)造性勞動。寫一份優(yōu)秀教案是設(shè)計(jì)者教育思想、智慧、動機(jī)、經(jīng)驗(yàn)、個(gè)性和教學(xué)藝術(shù)性的綜合體現(xiàn)。下面就是小編給大家?guī)淼臄?shù)學(xué)《預(yù)先定理》教案及教學(xué)反思，希望能幫助到大家!

數(shù)學(xué)《余弦定理》教案一

教學(xué)設(shè)計(jì)

整體設(shè)計(jì)

教學(xué)分析

對余弦定理的探究，教材是從直角三角形入手，通過向量知識給予證明的.一是進(jìn)一步加深學(xué)生對向量工具性的認(rèn)識，二是感受向量法證明余弦定理的奇妙之處，感受向量法在解決問題中的威力.課后仍鼓勵學(xué)生探究余弦定理的其他證明方法，推出余弦定理后，可讓學(xué)生用自己的語言敘述出來，并讓學(xué)生結(jié)合余弦函數(shù)的性質(zhì)明確：如果一個(gè)三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么第三邊所對的角是直角;如果小于第三邊的平方，那么第三邊所對的角是鈍角;如果大于第三邊的平方，那么第三邊所對的角是銳角.由上可知，余弦定理是勾股定理的推廣.還要啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生注意余弦定理的幾種變形式，并總結(jié)余弦定理的適用題型的特點(diǎn)，在解題時(shí)正確選用余弦定理達(dá)到求解、化簡的目的.

應(yīng)用余弦定理及其另一種形式，并結(jié)合正弦定理，可以解決以下問題：(1)已知兩邊和它們的夾角解三角形;(2)已知三角形的三邊解三角形.在已知兩邊及其夾角解三角形時(shí)，可以用余弦定理求出第三條邊，這樣就把問題轉(zhuǎn)化成已知三邊解三角形的問題.在已知三邊和一個(gè)角的情況下，求另一個(gè)角既可以應(yīng)用余弦定理的另一種形式，也可以用正弦定理.用余弦定理的另一種形式，可以(根據(jù)角的余弦值)直接判斷角是銳角還是鈍角，但計(jì)算比較復(fù)雜.用正弦定理計(jì)算相對比較簡單，但仍要根據(jù)已知條件中邊的大小來確定角的大小.

根據(jù)教材特點(diǎn)，本內(nèi)容安排2課時(shí).一節(jié)重在余弦定理的推導(dǎo)及簡單應(yīng)用，一節(jié)重在解三角形中兩個(gè)定理的綜合應(yīng)用.

三維目標(biāo)

1.通過對余弦定理的探究與證明，掌握余弦定理的另一種形式及其應(yīng)用;了解余弦定理與勾股定理之間的聯(lián)系;知道解三角形問 題的幾種情形.

2.通過對三角形邊角關(guān)系的探索，提高數(shù)學(xué)語言的表達(dá)能力，并進(jìn)一步理解三角函數(shù)、余弦定理、向量的數(shù)量積等知識間的關(guān)系，加深對數(shù)學(xué)具有廣泛應(yīng)用的認(rèn)識;同時(shí)通過正弦定理、余弦定理數(shù)學(xué)表達(dá)式的變換，認(rèn)識數(shù)學(xué)中的對稱美、簡潔美、統(tǒng)一美.

3.加深對數(shù)學(xué)思想的認(rèn)識，本節(jié)的主要數(shù)學(xué)思想是量化的數(shù)學(xué)思想、分類討論思想以及數(shù)形結(jié)合思想;這些數(shù)學(xué)思想是對于數(shù)學(xué)知識的理性的、本質(zhì)的、高度抽象的、概括的認(rèn)識，具有普遍的指導(dǎo)意義，它是我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要組成部分，有利于加深學(xué)生對具體數(shù)學(xué)知識的理解和掌握.

重點(diǎn)難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn)：掌握余弦定理;理解余弦定理的推導(dǎo)及其另一種形式，并能應(yīng)用它們解三角形.

教學(xué)難點(diǎn)：余弦定理的證明及其基本應(yīng)用以及結(jié)合正弦定理解三角形.

課時(shí)安排

2課時(shí)

教學(xué)過程

第1課時(shí)

導(dǎo)入新課

思路1.(類比導(dǎo)入)在探究正弦定理的證明過程中，從直角三角形的特殊情形入手，發(fā)現(xiàn)了正弦定理.現(xiàn)在我們?nèi)匀粡闹苯侨切蔚倪@種特殊情形入手，然后將銳角三角形轉(zhuǎn)化為直角三角形，再適當(dāng)運(yùn)用勾股定理進(jìn)行探索，這種導(dǎo)入比較自然流暢，易于學(xué)生接受.

思路2.(問題導(dǎo)入)如果已知一個(gè)三角形的兩條邊及其所夾的角，根據(jù)三角形全等的判斷方法，這個(gè)三角形是大小、形狀完全確定的三角形，能否把這個(gè)邊角關(guān)系準(zhǔn)確量化出來呢?也就是從已知的兩邊和它們的夾角能否計(jì)算出三角形的另一邊和另兩個(gè)角呢?根據(jù)我們掌握的數(shù)學(xué)方法，比如說向量法，坐標(biāo)法，三角法，幾何法等，類比正弦定理的證明，你能推導(dǎo)出余弦定理嗎?

推進(jìn)新課

新知探究

提出問題

??1?通過對任意三角形中大邊對大角，小邊對小角的邊角量化，我們發(fā)現(xiàn)了正弦定理，解決了兩類解三角形的問題.那么如果已知一個(gè)三角形的兩條邊及這兩邊所夾的角，根據(jù)三角形全等的判定方法，這個(gè)三角形是大小、形狀完全確定的三角形.怎樣已知三角形的兩邊及這兩邊夾角的條件下解三角形呢?

?2?能否用平面幾何方法或向量方法或坐標(biāo)方法等探究出計(jì)算第三邊長的關(guān)系式或計(jì)算公式呢?

?3?余弦定理的內(nèi)容是什么?你能用文字語言敘述它嗎?余弦定理與以前學(xué)過的關(guān)于三角形的什么定理在形式上非常接近?

?4?余弦定理的另一種表達(dá)形式是什么?

?5?余弦定理可以解決哪些類型的解三角形問題?怎樣求解?

?6?正弦定理與余弦定理在應(yīng)用上有哪些聯(lián)系和區(qū)別?

活動：根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)，結(jié)合課件“余弦定理猜想與驗(yàn)證”，教師引導(dǎo)學(xué)生仍從特殊情形入手，通過觀察、猜想、證明而推廣到一般.

如下圖，在直角三角形中，根據(jù)兩直角邊及直角可表示斜邊，即勾股定理，那么對于任意三角形，能否根據(jù)已知兩邊及夾角來表示第三邊呢?下面，我們根據(jù)初中所學(xué)的平面幾何的有關(guān)知識來研究這一問題.

如下圖，在△ABC中，設(shè)BC=a，AC=b，AB=c，試根據(jù)b、c、∠A來表示a.

教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探究.由于初中平面幾何所接觸的是解直角三角形問題，所以應(yīng)添加輔助線構(gòu)成直角三角形.在直角三角形內(nèi)通過邊角關(guān)系作進(jìn)一步的轉(zhuǎn)化工作，故作CD垂直于AB于點(diǎn)D，那么在Rt△BDC中，邊a可利用勾股定理通過CD、DB表示，而CD可在Rt△ADC中利用邊角關(guān)系表示，DB可利用AB，AD表示，進(jìn)而在Rt△ADC內(nèi)求解.探究過程如下：

過點(diǎn)C作CD⊥AB，垂足為點(diǎn)D，則在Rt△CDB中，根據(jù)勾股定理，得

a2=CD2+BD2.

∵在Rt△ADC中，CD2=b2-AD2，

又∵BD2=(c-AD)2=c2-2c?AD+AD2，

∴a2=b2-AD2+c2-2c?AD+AD2=b2+c2-2c?AD.

又∵在Rt△ADC中，AD=b?cosA，

∴a2=b2+c2-2bccosA.

類似地可以證明b2=c2+a2-2cacosB.

c2=a2+b2-2abcosC.

另外，當(dāng)A為鈍角時(shí)也可證得上述結(jié)論，當(dāng)A為直角時(shí)，a2+b2=c2也符合上述結(jié)論.

這就是解三角形中的另一個(gè)重要定理——余弦定理.下面類比正弦定理的證明，用向量的方法探究余弦定理，進(jìn)一步體會向量知識的工具性作用.

教師與學(xué)生一起探究余弦定理中的角是以余弦的形式出現(xiàn)的，又涉及邊長問題，學(xué)生很容易想到向量的數(shù)量積的定義式：a?b=|a||b|cosθ，其中θ為a，b的夾角.

用向量法探究余弦定理的具體過程如下：

如下圖，設(shè)CB→=a，CA→=b，AB→=c，那么c=a-b，

|c|2=c?c=(a-b)?(a-b)

=a?a+b?b-2a?b

=a2+b2-2abcosC.

所以c2=a2+b2-2abcosC.

同理可以證明a2=b2+c2-2bccosA，

b2=c2+a2-2cacosB.

這個(gè)定理用坐標(biāo)法證明也比較容易，為了拓展學(xué)生的思路，教師可引導(dǎo)學(xué)生用坐標(biāo)法證明，過程如下：

如下圖，以C為原點(diǎn)，邊CB所在直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為(a,0)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(bcosC，bsinC)，根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式

AB=?bcosC-a?2+?bsinC-0?2，

∴c2=b2cos2C-2abcosC+a2+b2sin2C，

整理，得c2=a2+b2-2abcosC.

同理可以證明：a2=b2+c2-2bccosA，

b2=c2+a2-2cacosB.

余弦定理：三角形任何一邊的平方等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍，即

a2=b2+c2-2bccosAb2=c2+a2-2accosBc2=a2+b2-2abcosC

余弦定理指出了三角形的三條邊與其中的一個(gè)角之間的關(guān)系，每一個(gè)等式中都包含四個(gè)不同的量，它們分別是三 角形的三邊和一個(gè)角，知道其中的三個(gè)量，就可以求得第四個(gè)量.從而由三角形的三邊可確定三角形的三個(gè)角，得到余弦定理的另一種形式：

cosA=b2+c2-a22bccosB=c2+a2-b22cacosC=a2+b2-c22ab

教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步觀察、分析余弦定理的結(jié)構(gòu)特征，發(fā)現(xiàn)余弦定理與以前的關(guān)于三角形的勾股定理在形式上非常接近，讓學(xué)生比較并討論它們之間的關(guān)系.學(xué)生容易看出，若△ABC中，C=90°，則cosC=0，這時(shí)余弦定理變?yōu)閏2=a2+b2.由此可知，余弦定理是勾股定理的推廣;勾股定理是余弦定理的特例.另外，從余弦定理和余弦函 數(shù)的性質(zhì)可知，在一個(gè)三角形中，如果兩邊的平方和 等于第三邊的平方，那么第三邊所對的角是直角;如果兩邊的平方和小于第三邊的平方，那么第三邊所對的角是鈍角;如果兩邊的平方和大于第三邊的平方，那么第三邊所對的角是銳角.從以上可知，余弦定理可以看作是勾股定理的推廣.

應(yīng)用余弦定理，可以解決以下兩類有關(guān)解三角形的問題：

①已知三角形的三邊解三角形，這類問題是三邊確定，故三角也確定，有解;

②已知兩邊和它們的夾角解三角形，這類問題是第三邊確定，因而其他兩個(gè)角也確定，故解.不會產(chǎn)生利用正弦定理解三角形所產(chǎn)生的判斷解的取舍的問題.

把正弦定理和余弦定理結(jié)合起來應(yīng)用，能很好地解決解三角形的問題.教師引導(dǎo)學(xué)生觀察兩個(gè)定理可解決的問題類型會發(fā)現(xiàn)：如果已知的是三角形的三邊和一個(gè)角的情況，而求另兩角中的某個(gè)角時(shí)，既可以用余弦定理也可以用正弦定理，那么這兩種方法哪個(gè)會更好些呢?教師與學(xué)生一起探究得到：若用余弦定理的另一種形式，可以根據(jù)余弦值直接判斷角是銳角還是鈍角，但計(jì)算比較復(fù)雜.用正弦定理計(jì)算相對比較簡單，但仍要根據(jù)已知條件中邊的大小來確定角的大小，所以一般應(yīng)該選擇用正弦定理去計(jì)算比較小的邊所對的角.教師要點(diǎn)撥學(xué)生注意總結(jié)這種優(yōu)化解題的技巧.

討論結(jié)果：

(1)、(2)、(3)、(6)見活動.

(4)余弦定理的另一種表達(dá)形式是：

cosA=b2+c2-a22bccosB=c2+a2-b22cacosC=a2+b2-c22ab

(5)利用余弦定理可解決兩類解三角形問題：

一類是已知三角形三邊，另一類是已知三角形兩邊及其夾角.

應(yīng)用示例

例1如圖，在△ABC中，已知a=5，b=4，∠C=120°，求c.

活動：本例是利用余弦定理解決的第二類問題，可讓學(xué)生獨(dú)立完成.

解：由余弦定理，得

c2=a2+b2-2abcos120°，

因此c=52+42-2×5×4×?-12?=61.

例2如圖，在△ABC中，已知a=3，b=2，c=19，求此三角形各個(gè)角的大小及其面積.(精確到0.1)

活動：本例中已知三角形三邊，可利用余弦定理先求出邊所對的角，然后利用正弦定理再求出另一角，進(jìn)而求得第三角.教材中 這樣安排是為了讓學(xué)生充分熟悉正弦定理和余弦定理.實(shí)際教學(xué)時(shí)可讓學(xué)生自己探求解題思路，比如學(xué)生可能會三次利用余弦定理分別求出三個(gè)角，或先求出最小邊所對的角再用正弦定理求其他角，這些教師都要給予鼓勵，然后讓學(xué)生自己比較這些方法的不同或優(yōu)劣，從而深刻理解兩個(gè)定理的.

解：由余弦定理，得

cos∠BCA=a2+b2-c22ab=32+22-?19?22×3×2=9+4-1912=-12，

因此∠BCA=120°，

再由正弦定理，得

sinA=asin∠BCAc=3×3219=33219≈0.596 0，

因此∠A≈36.6°或∠A≈143.4°(不合題意，舍去).

因此∠B=180°-∠A-∠BCA≈23.4°.

設(shè)BC邊上的高為AD，則

AD=csinB=19sin23.4°≈1.73.

所以△ABC的面積≈12×3×1.73≈2.6.

點(diǎn)評：在既可應(yīng)用正弦定理又可應(yīng)用余弦定理時(shí)，體會兩種方法存在的差異.當(dāng)所求的 角是鈍角時(shí)，用余弦定理可以立即判定所求的角，但用正弦定理則不能直接判定.

變式訓(xùn)練

在△ABC中，已知a=14，b=20，c=12，求A、B和C.(精確到1°)

解：∵cosA=b2+c2-a22bc=202+122-1422×20×12=0.725 0，

∴A≈44°.

∵cosC=a2+b2-c22ab=142+202-1222×14×20=113140≈0.807 1，

∴C≈36°.

∴B=180°-(A+C)≈180°-(44°+36°)=100°.

例3如圖，△ABC的頂點(diǎn)為A(6,5)，B(-2,8)和C(4,1)，求∠A.(精確到0.1°)

活動：本例中三角形的三點(diǎn)是以坐標(biāo)的形式給出的，點(diǎn)撥學(xué)生利用兩點(diǎn)間距離公式先求出三邊，然后利用余弦定理求出∠A.可由學(xué)生自己解決，教師給予適當(dāng)?shù)闹笇?dǎo).

解：根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式，得

AB=[6-?-2?]2+?5-8?2=73，

BC=?-2-4?2+?8-1?2=85，

AC=?6-4?2+?5-1?2=25.

在△ABC中，由余弦定理，得

cosA=AB2+AC2-BC22AB?AC=2365≈0.104 7，

因此∠A≈84.0°.

點(diǎn)評：三角形三邊的長作為中間過程，不必算出精確數(shù)值.

變式訓(xùn)練

用向量的數(shù)量積運(yùn)算重做本例.

解：如例3題圖，AB→=(-8,3)，AC→=(-2，-4)，

∴|AB→|=73，|AC→|=20.

∴cosA=AB→?AC→|AB→||AC→|

=-8×?-2?+3×?-4?73×20

=2365≈0.104 7.

因此∠A≈84.0°.

例4在△ABC中，已知a=8，b=7，B=60°，求c及S△ABC.

活動：根據(jù)已知條件可以先由正弦定理求出角A，再結(jié)合三角形內(nèi)角和定理求出角C，再利用正弦定理求出邊c，而三角形面積由公式S△ABC=12acsinB可以求出.若用余弦定理求c，可利用余弦定理b2=c2+a2-2cacosB建立關(guān)于c的方程，亦能達(dá)到求c的目的.

解法一：由正弦定理，得8sinA=7sin60°，

∴A1=81.8°，A2=98.2°.

∴C1=38.2°，C2=21.8°.

由7sin60°=csinC，得c1=3，c2=5，

∴S△ABC=12ac1sinB=63或S△ABC=12ac2sinB=103.

解法二：由余弦定理，得b2=c2+a2-2cacosB，

∴72=c2+82-2×8×ccos60°.

整理，得c2-8c+15=0，

解之，得c1=3，c2=5.∴S△ABC=12ac1sinB=63或S△ABC=12ac2sinB=103.

點(diǎn)評：在解法一的思路里，應(yīng)注意用正弦定理應(yīng)有兩種結(jié)果，避免遺漏;而解法二更有耐人尋味之處，體現(xiàn)出余弦定理作為公式而直接應(yīng)用的另外用處，即可以用之建立方程，從而運(yùn)用方程的觀點(diǎn)去解決，故解法二應(yīng)引起學(xué)生的注意.

綜合上述例題，要求學(xué)生總結(jié)余弦定理在求解三角形時(shí)的適用范圍;已知三邊求角或已知兩邊及其夾角解三角形，同時(shí)注意余弦定理在求角時(shí)的優(yōu)勢以及利用余弦定理建立方程的解法，即已知兩邊及一角解三角形可用余弦定理解之.

變式訓(xùn)練

在△ABC中，內(nèi)角A，B，C對邊的邊長分別是a，b，c.已知c=2，C=60°.

(1)若△ABC的面積等于3，求a，b;

(2)若sinB=2sinA，求△ABC的面積.

解：(1)由余弦定理及已知條件，得a2+b2-2abcos60°=c2，即a2+b2-ab=4，

又因?yàn)椤鰽BC的面積等于3，所以12absinC=3，ab=4.

聯(lián)立方程組a2+b2-ab=4，ab=4，解得a=2，b=2.

(2)由正弦定理及已知條件，得b=2a，

聯(lián)立方程組a2+b2-ab=4，b=2a，解得a=233，b=433.

所以△ABC的面積S=12absinC=233.

知能訓(xùn)練

1.在△ABC中，已知C=120°，兩邊a與b是方程x2-3x+2=0的兩根，則c的值為…

(　　)

A.3 B.7 C.3 D.7

2.已知三角形的三邊長分別為x2+x+1，x2-1,2x+1(x>1)，求三角形的角.

答案：

1.D　解析：由題意，知a+b=3，ab=2.

在△ABC中，由余弦定理，知

c2=a2+b2-2abcosC=a2+b2+ab

=(a+b)2-ab

=7，

∴c=7.

2.解：比較得知，x2+x+1為三角形的邊，設(shè)其對角為A.

由余弦定理，得

cosA=?x2-1?2+?2x+1?2-?x2+x+1?22?x2-1??2x+1?

=-12.

∵0

即三角形的角為120°.

課堂小結(jié)

1.教師先讓學(xué)生回顧本節(jié)課的探究過程，然后再讓學(xué)生用文字語言敘述余弦定理，準(zhǔn)確理解其實(shí)質(zhì)，并由學(xué)生回顧可用余弦定理解決哪些解三角形的問題.

2.教師指出：從方程的觀點(diǎn)來分析，余弦定理的每一個(gè)等式都包含了四個(gè)不同的量，知道其中三個(gè)量，便可求得第四個(gè)量.要通過課下作業(yè)，從方程的角度進(jìn)行各種變形，達(dá)到辨明余弦定理作用的目的.

3.思考本節(jié)學(xué)到的探究方法，定性發(fā)現(xiàn)→定量探討→得到定理.

作業(yè)

課本習(xí)題1—1A組4、5、6;習(xí)題1—1B組1～5.

設(shè)計(jì)感想

本教案的設(shè)計(jì)充分體現(xiàn)了“民主教學(xué)思想”，教師不主觀、不武斷、不包辦，讓學(xué)生充分發(fā)現(xiàn)問題，合作探究，使學(xué)生真正成為學(xué)習(xí)的主體，力求在課堂上人人都會有“令你自己滿意”的探究成果.這樣能夠不同程度地開發(fā)學(xué)生的潛能，且使教學(xué)內(nèi)容得以鞏固和延伸.“發(fā)現(xiàn)法”是常用的一種教學(xué)方法，本教案設(shè)計(jì)是從直角三角形出發(fā)，以歸納——猜想——證明——應(yīng)用為線索，用恰當(dāng)?shù)膯栴}通過啟發(fā)和點(diǎn)撥，使學(xué)生把規(guī)律和方法在愉快的氣氛中探究出來，而展現(xiàn)的過程合情合理，自然流暢，學(xué)生的主體地位得到了充分的發(fā)揮.

縱觀本教案設(shè)計(jì)流程，引入自然，學(xué)生探究到位，體現(xiàn)新課程理念，能較好地完成三維目標(biāo)，課程內(nèi)容及重點(diǎn)難點(diǎn)也把握得恰到好處.環(huán)環(huán)相扣的設(shè)計(jì)流程會強(qiáng)烈地感染著學(xué)生積極主動地獲取知識，使學(xué)生的探究欲望及精神狀態(tài)始終處于狀態(tài).在整個(gè)教案設(shè)計(jì)中學(xué)生的思維活動量大，這是貫穿整個(gè)教案始終的一條主線，也應(yīng)是實(shí)際課堂教學(xué)中的一條主線.

備課資料

一、與解三角形有關(guān)的幾個(gè)問題

1.向量方法證明三角形中的射影定理

如圖，在△ABC中，設(shè)三內(nèi)角A、B、C的對邊分別是a、b、c.

∵AC→+CB→=AB→，

∴AC→?(AC→+CB→)=AC→?AB→.

∴AC→?AC→+AC→?CB→=AC→?AB→.

∴|AC→|2+|AC→||CB→|cos(180°-C)=|AB→||AC→|cosA.

∴|AC→|-|CB→|cosC=|AB→|cosA.

∴b-acosC=ccosA，

即b=ccosA+acosC.

同理，得a=bcosC+ccosB，c=bcosA+acosB.

上述三式稱為三角形中的射影定理.

2.解斜三角形題型分析

正弦定理和余弦定理的每一個(gè)等式中都包含三角形的四個(gè)元素，如果其中三個(gè)元素是已知的(其中至少有一個(gè)元素是邊)，那么這個(gè)三角形一定可解.

關(guān)于斜三角形的解法，根據(jù)所給的條件及適用的定理可以歸納為下面四種類型：

(1)已知兩角及其中一個(gè)角的對邊，如A、B、a，解△ABC.

解：①根據(jù)A+B+C=π，求出角C;

②根據(jù)asinA=bsinB及asinA=csinC，求b、c.

如果已知的是兩角和它們的夾邊，如A、B、c，那么先求出第三角C，然后按照②來求解.求解過程中盡可能應(yīng)用已知元素.

(2)已知兩邊和它們的夾角，如a、b、C，解△ABC.

解：①根據(jù)c2=a2+b2-2abcosC，求出邊c;

②根據(jù)cosA=b2+c2-a22bc，求出角A;

③由B=180°-A-C，求出角B.

求出第三邊c后，往往為了計(jì)算上的方便，應(yīng)用正弦定理求角，但為了避免討論角是鈍角還是銳角，應(yīng)先求較小邊所對的角(它一定是銳角)，當(dāng)然也可以用余弦定理求解.

(3)已知兩邊及其中一條邊所對的角，如a、b、A，解△ABC.

解：①asinA=bsinB，經(jīng)過討論求出B;

②求出B后，由A+B+C=180°，求出角C;

③再根據(jù)asinA=csinC，求出邊c.

(4)已知三邊a、b、c，解△ABC.

解：一般應(yīng)用余弦定理求出兩角后，再由A+B+C=180°，求出第三個(gè)角.

另外，和第二種情形完全一樣，當(dāng)?shù)谝粋€(gè)角求出后，可以根據(jù)正弦定理求出第二個(gè)角，但仍然需注意要先求較小邊所對的銳角.

(5)已知三角，解△ABC.

解：滿足條件的三角形可以作出無窮多個(gè)，故此類問題解不.

3.“可解三角形”與“需解三角形”

解斜三角形是三角函數(shù)這章中的一個(gè)重要內(nèi)容，也是求解立體幾何和解析幾何問題的一個(gè)重要工具.但在具體解題時(shí)，有些同學(xué)面對較為復(fù)雜(即圖中三角形不止一個(gè))的斜三角形問題，往往不知如何下手.至于何時(shí)用正弦定理或余弦定理也是心中無數(shù)，這既延長了思考時(shí)間，更影響了解題的速度和質(zhì)量.但若明確了“可解三角形”和“需解三角形”這兩個(gè)概念，則情形就不一樣了.

所謂“可解三角形”，是指已經(jīng)具有三個(gè)元素(至少有一邊)的三角形;而“需解三角形”則是指需求邊或角所在的三角形.當(dāng)一個(gè)題目的圖形中三角形個(gè)數(shù)不少于兩個(gè)時(shí)，一般來說其中必有一個(gè)三角形是可解的，我們就可先求出這個(gè)“可解三角形”的某些邊和角，從而使“需解三角形”可解.在確定了“可解三角形”和“需解三角形”后，就要正確地判斷它們的類型，合理地選擇正弦定理或余弦定理作為解題工具，求出需求元素，并確定解的情況.

“可解三角形”和“需解三角形”的引入，能縮短求解斜三角形問 題的思考時(shí)間.一題到手后，先做什么，再做什么，心里便有了底.分析問題的思路也從“試試看”“做做看”等不大確定的狀態(tài)而變?yōu)椤坝械姆攀浮钡厝ネ诰?，去探?

二、備用習(xí)題

1.△ABC中，已知b2-bc-2c2=0，a=6，cosA=78，則△ABC的面積S為(　　)

A.152 B.15 C.2 D.3

2.已知一個(gè)三角形的三邊為a、b和a2+b2+ab，則這個(gè)三角形的角是(　　)

A.75° B.90° C.120° D.150°

3.已知銳角三角形的兩邊長為2和3，那么第三邊長x的取值范圍是(　　)

A.(1,5) B.(1，5) C.(5，5) D.(5，13)

4.如果把直角三角形的三邊都增加同樣的長度，則這個(gè)新三角形的形狀為(　　)

A.銳角三角形 B.直角三角形

C.鈍角三角形 D.由增加的長度確定

5.(1)在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C所對的邊，已知a=3，b=3，C=30°，則A=__________.

(2)在△ABC中，三個(gè)角A，B，C的對邊邊長分別為a=3，b=4，c=6，則bccosA+cacosB+abcosC的值為__________.

6.在△ABC中，若(a+b+c)(a+b-c)=3ab，并且sinC=2sinBcosA，試判斷△ABC的形狀.

7.在△ABC中，設(shè)三角形面積為S，若S=a2-(b -c)2，求tanA2的值.

參考答案：

1.A　解析：由b2-bc-2c2=0，即(b+c)(b-2c)=0，得b=2c;①

由余弦定理，得a2=b2+c2-2bccosA，即6=b2+c2-74bc.②

解①②，得b=4，c=2.

由cosA=78，得sinA=158，

∴S△ABC=12bcsinA=12×4×2×158=152.

2.C　解析：設(shè)角為θ，由余弦定理，得a2+b2+ab=a2+b2-2abcosθ，

∴cosθ=-12.∴θ=120°.

3.D　解析：若x為邊，由余弦定理，知4+9-x22×2×3>0，即x2<13，∴0

若x為最小邊，則由余弦定理知4+x2-9>0，即x2>5，

∴x>5.綜上，知x的取值范圍是5

4.A　解析：設(shè)直角三角形的三邊為a，b，c，其中c為斜邊，增加長度為x.

則c+x為新三角形的最長邊.設(shè)其所對的角為θ，由余弦定理知，

cosθ=?a+x?2+?b+x?2-?c+x?22?a+x??b+x?=2?a+b-c?x+x22?a+x??b+x?>0.

∴θ為銳角，即新三角形為銳角三角形.

5.(1)30°　(2)612　解析：(1)∵a=3，b=3，C=30°，由余弦定理，有

c2=a2+b2-2abcosC=3+9-2×3×3×32=3，

∴a=c，則A=C=30°.

(2)∵bccosA+cacosB+abcosC=b2+c2-a22+c2+a2-b22+a2+b2-c22

=a2+b2+c22=32+42+622=612.

6.解：由正弦定理，得sinCsinB=cb，

由sinC=2sinBcosA，得cosA=sinC2sinB=c2b，

又根據(jù)余弦定理，得cosA=b2+c2-a22bc，

故c2b=b2+c2-a22bc，即c2=b2+c2-a2.

于是，得b2=a2，故b=a.

又因?yàn)?a +b+c)(a+b-c)=3ab，

故(a+b)2-c2=3ab.由a=b，得4b2-c2=3b2，

所以b2=c2，即b=c.故a=b=c.

因此△ABC為正三角形.

7.解：S=a2-(b-c)2，又S=12bcsinA，

∴12bcsinA=a2-(b-c)2，

有14sinA=-?b2+c2-a2?2bc+1，

即14?2sinA2?cosA2=1-cosA.

∴12?sinA2?cosA2=2sin2A2.

∵sinA2≠0，故12cosA2=2 sinA2，∴tanA2=14.

第2課時(shí)

導(dǎo)入新課

思路1.(復(fù)習(xí)導(dǎo)入)讓學(xué)生回顧正弦定理、余弦定理的內(nèi)容及表達(dá)式，回顧上兩節(jié)課所解決的解三角形問題，那么把正弦定理、余弦定理放在一起并結(jié)合三角、向量、幾何等知識我們會探究出什么樣的解題規(guī)律呢?由此展開新課.

思路2.(問題導(dǎo)入)我們在應(yīng)用正弦定理解三角形時(shí)，已知三角形的兩邊及其一邊的對角往往得出不同情形的解，有時(shí)有一解，有時(shí)有兩解，有時(shí)又無解，這究竟是怎么回事呢?本節(jié)課我們從一般情形入手，結(jié)合圖形對這一問題進(jìn)行進(jìn)一步的探究，由此展開新課.

推進(jìn)新課

新知探究

提出問題

?1?回憶正弦定理、余弦定理及其另一種形式的表達(dá)式，并用文字語言敘述其內(nèi)容.能寫出定理的哪些變式?

?2?正、余弦定理各適合解決哪類解三角形問題?

?3?解三角形常用的有關(guān)三角形的定理、性質(zhì)還有哪些?

?4?為什么有時(shí)解三角形會出現(xiàn)矛盾，即無解呢?比如：,①已知在△ABC中，a=22 cm，b=25 cm，A=135°，解三角形;,②已知三條邊分別是3 cm，4 cm，7 cm，解三角形.

活動：結(jié)合課件、幻燈片等，教師可把學(xué)生分成幾組互相提問正弦定理、余弦定理的內(nèi)容是什么?各式中有幾個(gè)量?有什么作用?用方程的思想寫出所有的變形(包括文字?jǐn)⑹?，讓學(xué)生回答正、余弦定理各適合解決的解三角形類型問題、三角形內(nèi)角和定理、三角形面積定理等.可讓學(xué)生填寫下表中的相關(guān)內(nèi)容：

解斜三角形時(shí)可

用的定理和公式 適用類型 備注

余弦定理

a2=b2+c2-2bccosA

b2=a2+c2-2accosB

c2=b2+a2-2bacosC (1)已知三邊

(2)已知兩邊及其夾角

類型(1)(2)有解時(shí)只有一解

正弦定理

asinA=bsinB=csinC=2R

(3)已知兩角和一邊

(4)已知兩邊及其中一邊的對角 類型(3)在有解時(shí)只有一解，類型(4)可有兩解、一解或無解

三角形面積公式

S=12bcsinA

=12acsinB

=12absinC

(5)已知兩邊及其夾角

對于正弦定理，教師引導(dǎo)學(xué)生寫出其變式：a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，利用幻燈片更能直觀地看出解三角形時(shí)的邊角互化.對于余弦定理，教師要引導(dǎo)學(xué)生寫出其變式(然后教師打出幻燈片)：∠A>90°?a2>b2+c2;∠A=90°?a2=b2+c2;∠A<90°?a2

以上內(nèi)容的復(fù)習(xí)回顧如不加以整理，學(xué)生將有雜亂無章、無規(guī)碰撞之感，覺得好像更難以把握了，要的就是這個(gè)效果，在看似學(xué)生亂提亂問亂說亂寫的時(shí)候，教師適時(shí)地打出幻燈片(1張)，立即收到耳目一新，主線立現(xiàn)、心中明朗的感覺，幻燈片除以上2張外，還有：

asinA=bsinB=csinC=2R;a2=b2+c2-2bccosA，b2=a2+c2-2accosB，c2=a2+b2-2abcosC;cosA=b2+c2-a22bc，cosB=a2+c2-b22ac，cosC=a2+b2-c22ab.

出示幻燈片后，必要時(shí)教師可根據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況略作點(diǎn)評.

與學(xué)生一起討論解三角形有時(shí)會出現(xiàn)無解的情況.如問題(4)中的①會出現(xiàn)如下解法：

根據(jù)正弦定理，sinB=bsinAa=25sin133°22≈0.831 1.

∵0°

于是C=180°-(A+B)≈180°-(133°+56.21°)=-9.21°或C=180°-(A+B)≈180°-(133°+123.79°)=-76.79°.

到這里我們發(fā)現(xiàn)解三角形竟然解出負(fù)角來，顯然是錯誤的.問題出在哪里呢?在檢驗(yàn)以上計(jì)算無誤的前提下，教師引導(dǎo)學(xué)生分析已知條件.由a=22 cm，b=25 cm，這里a

討論結(jié)果：

(1)、(3)、(4)略.

(2)利用正弦定理和余弦定理可解決以下四類解三角形問題：

①已知兩角和任一邊，求其他兩邊和一角.

②已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊的對角(從而進(jìn)一步求出其他的邊和角).

③已知三邊，求三個(gè)角.

④已知兩邊和夾角，求第三邊和其他兩角.

應(yīng)用示例

例1在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，b=acosC且△ABC的邊長為12，最小角的正弦值為13.

(1)判斷△ABC的形狀;

(2)求△ABC的面積.

活動：教師與學(xué)生一起共同探究本例，通過本例帶動正弦定理、余弦定理的知識串聯(lián)，引導(dǎo)學(xué)生觀察條件b=acosC，這是本例中的關(guān)鍵條件.很顯然，如果利用正弦定理實(shí)現(xiàn)邊角轉(zhuǎn)化，則有2RsinB=2RsinA?cosC.若利用余弦定理實(shí)現(xiàn)邊角轉(zhuǎn)化，則有b=a?a2+b2-c22ab，兩種轉(zhuǎn)化策略都是我們常用的.引導(dǎo)學(xué)生注意對于涉及三角形的三角函數(shù)變換.內(nèi)角和定理A+B+C=180°非常重要，常變的角有A2+B2=π2-C2，2A+2B+2C=2π，sinA=sin(B+C)，cosA=-cos(B+C)，sinA2=cosB+C2，cosA2=sinB+C2等，三個(gè)內(nèi)角的大小范圍都不能超出(0°，180°).

解：(1)方法一：∵b=acosC，

∴由正弦定理，得sinB=sinA?cosC.

又∵sinB=sin(A+C)，∴sin(A+C)=sinA?cosC，

即cosA?sinC=0.

又∵A、C∈(0，π)，∴cosA=0，即A=π2.

∴△ABC是A=90°的直角三角形.

方法二：∵b=acosC，

∴由余弦定理，得b=a?a2+b2-c22ab，

2b2=a2+b2-c2，即a2=b2+c2.

由勾股定理逆定理，知△ABC是A=90°的直角三角形.

(2)∵△ABC的邊長為12，由(1)知斜邊a=12.

又∵△ABC最小角的正弦值為13，

∴Rt△ABC的最短直角邊長為12×13=4.

另一條直角邊長為122-42=82，

∴S△ABC=12×4×82=162.

點(diǎn)評：以三角形為載體，以三角變換為核心，結(jié)合正弦定理和余弦定理綜合考查邏輯分析和計(jì)算推理能力是高考命題的一個(gè)重要方向.因此要特別關(guān)注三角函數(shù)在解三角形中的靈活運(yùn)用，及正、余弦定理的靈活運(yùn)用.

變式訓(xùn)練

在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別是a、b、c，且cosA=45.

(1)求sin2B+C2+cos2A的值;

(2)若b=2，△ABC的面積S=3，求a.

解：(1)sin2B+C2+cos2A=1-cos?B+C?2+cos2A

=1+cosA2+2cos2A-1=5950.

(2)∵cosA=45，∴sinA=35.

由S△ABC=12bcsinA得3=12×2c×35，解得c=5.

由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA，可得a2=4+25-2×2×5×45=13，

∴a=13.

例2已知a，b，c是△ABC中∠A，∠B，∠C的對邊，若a=7，c=5，∠A=120°，求邊長b及△ABC外接圓半徑R.

活動：教師引導(dǎo)學(xué)生觀察已知條件，有邊有角，可由余弦定理先求出邊b，然后利用正弦定理再求其他.點(diǎn)撥學(xué)生注意體會邊角的互化，以及正弦定理和余弦定理各自的作用.

解：由余弦定理，知a2=b2+c2-2bccosA，即b2+52-2×5×bcos120°=49，

∴b2+5b-24=0.

解得b=3.(負(fù)值舍去).

由正弦定理：asinA=2R，即7sin120°=2R，解得R=733.

∴△ABC中，b=3，R=733.

點(diǎn)評：本題直接利用余弦定理，借助方程思想求解邊b，讓學(xué)生體會這種解題方法，并探究其他的解題思路.

變式訓(xùn)練

設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知b2+c2=a2+3bc，求：

(1)A的大小;

(2)2sinB?cosC-sin(B-C)的值.

解：(1)由余弦定理，得cosA=b2+c2-a22bc=3bc2bc=32，

∴∠A=30°.

(2)2sinBcosC-sin(B-C)

=2sinBcosC-(sinB?cosC-cosBsinC)

=sinBcosC+cosBsinC

=sin(B+C)

=sinA

=12.

例3如圖，在四邊形ABCD中，∠ADB=∠BCD=75°，∠ACB=∠BDC=45°，DC=3，求：

(1)AB的長;

(2)四邊形ABCD的面積.

活動：本例是正弦定理、余弦定理的靈活應(yīng)用，結(jié)合三角形面積求解，難度不大，可讓學(xué)生自己獨(dú)立解決，體會正、余弦定理結(jié)合三角形面積的綜合應(yīng)用.

解：(1)因?yàn)椤螧CD=75°，∠ACB=45°，所以∠ACD=30°.

又因?yàn)椤螧DC=45°，

所以∠DAC=180°-(75°+ 45°+ 30°)=30°.所以AD=DC=3.

在△BCD中，∠CBD=180°-(75°+ 45°)=60°，

所以BDsin75°=DCsin60°，BD =3sin75°sin60°=6+22.

在△ABD中，AB2=AD2+ BD2-2×AD×BD×cos75°=(3)2+(6+22)2-2×3×6+22×6-24= 5，所以AB=5.

(2)S△ABD=12×AD×BD×sin75°=12×3×6+22×6+24=3+234.

同理， S△BCD=3+34.

所以四邊形ABCD的面積S=6+334.

點(diǎn)評：本例解答對運(yùn)算能力提出了較高要求，教師應(yīng)要求學(xué)生“列式工整、算法簡潔、運(yùn)算正確”，養(yǎng)成規(guī)范答題的良好習(xí)慣.

變式訓(xùn)練

如圖，△ACD是等邊三角形，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，BD交AC于E，AB=2.

(1)求cos∠CBE的值;

(2)求AE.

解：(1)因?yàn)椤螧CD=90°+60°=150°，

CB=AC=CD，

所以∠CBE=15°.

所以cos∠CBE=cos(45°-30°)=6+24.

(2)在△ABE中，AB=2，

由正弦定理，得AEsin?45°-15°?=2sin?90°+15°?，

故AE=2sin30°cos15°=2×126+24=6-2.

例4在△ABC中，求證：a2sin2B+b2sin2A=2absinC.

活動：此題所證結(jié)論包含關(guān)于△ABC的邊角關(guān)系，證明時(shí)可以考慮兩種途徑：一是把角的關(guān)系通過正弦定理轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系，若是余弦形式則通過余弦定理;二是把邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系，一般是通過正弦定理.另外，此題要求學(xué)生熟悉相關(guān)的三角函數(shù)的有關(guān)公式，如sin2B=2sinBcosB等，以便在化為角的關(guān)系時(shí)進(jìn)行三角函數(shù)式的恒等變形.

證法一： (化為三角函數(shù))

a2sin2B+b2sin2A=(2RsinA)2?2sinB?cosB+(2RsinB)2?2sinA?cosA=8R2sinA?sinB(sinAcosB+cosAsinB)=8R2sinAsinBsinC=2?2RsinA?2RsinB?sinC=2absinC.

所以原式得證.

證法二： (化為邊的等式)

左邊=a2?2sinBcosB+b2?2sinAcosA=a2?2b2R?a2+c2-b22ac+b2?2a2R?b2+c2-a22bc=ab2Rc(a2+c2-b2+b2+c2-a2)=ab2Rc?2c2=2ab?c2R=2absinC.

點(diǎn)評：由邊向角轉(zhuǎn)化，通常利用正弦定理的變形式：a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，在轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系式后，要注意三角函數(shù)公式的運(yùn)用，在此題用到了正弦二倍角公式sin2A=2sinA?cosA，正弦兩角和公式sin(A+B)=sinA?cosB+cosA?sinB;由角向邊轉(zhuǎn)化，要結(jié)合正弦定理變形式以及余弦定理形式二.

數(shù)學(xué)《余弦定理》教案二

變 式訓(xùn)練

在△ABC中，求證：

(1)a2+b2c2=sin2A+sin2Bsin2C;

(2)a2+b2+c2=2(bccosA+cacosB+abcosC).

證明：(1)根據(jù)正弦定理，可設(shè)

asinA=bsinB= csinC= k，

顯然 k≠0，所以

左邊=a2+b2c2=k2sin2A+k2sin2Bk2sin2C=sin2A+sin2Bsin2C=右邊.

(2)根據(jù)余弦定理，得

右邊=2(bcb2+c2-a22bc+cac2+a2-b22ca+aba2+b2-c22ab)

=(b2+c2- a2)+(c2+a2-b2)+(a2+b2-c2)

=a2+b2+c2=左邊.

知能訓(xùn)練

1.已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角A、B、C所對的三邊分別為a、b、c.若△ABC的面積S=c2-(a-b)2，則tanC2等于(　　)

A.12 B.14 C.18 D.1

2.在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且滿足4sin2A+C2-cos2B=72.

(1)求角B的度數(shù);

(2)若b=3，a+c=3，且a>c，求a、c的值.

答案：

1.B　解析：由余弦定理及面積公式，得

S=c2-a2-b2+2ab=-2abcosC+2ab=12absinC，

∴1-cosCsinC=14.

∴tanC2=1-cosCsinC=14.

2.解：(1)由題意，知4cos2B-4cosB+1=0，∴cosB=12.

∵0

(2)由余弦定理，知3=a2+c2-ac=(a+c)2-3ac=9-3ac，

∴ac=2.①

又∵a+c=3，②

解①②聯(lián)立的方程組，得a=2，c=1或a=1，c=2.

∵a>c，∴a=2，c=1.

課堂小結(jié)

教師與學(xué)生一起回顧本節(jié)課我們共同探究的解三角形問題，特別是已知兩邊及其一邊的對角時(shí)解的情況，通過例題及變式訓(xùn)練，掌握了三角形中邊角互化的問題以及聯(lián)系其他知識的小綜合問題.學(xué)到了具體問題具體分析的良好思維習(xí)慣.

教師進(jìn)一步點(diǎn)出，解三角形問題是確定線段 的長度和角度的大小，解三角形需要利用邊角關(guān)系，三角形中，有六個(gè)元素：三條邊、三個(gè)角;解三角形通常是給出三個(gè)獨(dú)立的條件(元素)，求出其他的元素，如果是特殊的三角形，如直角三角形，兩個(gè)條件(元素)就夠了.正弦定理與余弦定理是刻畫三角形邊角關(guān)系的重要定理，正弦定理適用于已知兩角一邊，求其他要素;余弦定理適用于已知兩邊和夾角，或者已知三邊求其他要素.

作業(yè)

課本本節(jié)習(xí)題1—1B組6、7.

補(bǔ)充作業(yè)

1.在△ABC中，若tanAtanB=a2b2，試判斷△ABC的形狀.

2.在△ABC中，a、b、c分別是角A、B、C的對邊，A=60°，B>C，b、c是方程x2-23x+m=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，△ABC的面積為32，求△ABC的三邊長.

解答：1.由tanAtanB=a2b2，得sinA?cosBcosA?sinB=a2b2，

由正弦定理，得a=2RsinA，b=2RsinB，

∴sinA?cosBcosA?sinB=4R2sin2A4R2sin2B.

∴sinA?cosA=sinB?cosB，

即sin2A=sin2B.

∴A+B=90°或A=B，

即△ABC為等腰三角形或直角三角形.

2.由韋達(dá)定理，得bc=m，S△ABC=12bcsinA=12msin60°=34m=32，

∴m=2.

則原方程變?yōu)閤2-23x+2=0，

解得兩根為x=3±1.

又B>C，∴b>c.

故b=3+1，c=3-1.

由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA=6，得a=6.

∴所求三角形的三邊長分別為a=6，b=3+1，c=3-1.

設(shè)計(jì)感想

本教案設(shè)計(jì)的思路是：通過一些典型 的實(shí)例來拓展關(guān)于解三角形的各種題型及其解決方法，具體解三角形時(shí)，所選例題突出了函數(shù)與方程的思想，將正弦定理、余弦定理視作方程或方程組，處理已知量與未知量之間的關(guān)系.

本教案的設(shè)計(jì)注重了一題多解的訓(xùn)練，如例4給出了兩種解法，目的是讓學(xué)生對換個(gè)角度看問題有所感悟，使學(xué)生經(jīng)常自覺地從一個(gè)思維過程轉(zhuǎn)換到另一個(gè)思維過程，逐步培養(yǎng)出創(chuàng)新意識.換一個(gè)角度看問題，變通一下，也許會有意想不到的效果.

備課資料

一、正弦定理、余弦定理課外探究

1.正、余弦定理的邊角互換功能

對于正、余弦定理，同學(xué)們已經(jīng)開始熟悉，在解三角形的問題中常會用到它，其實(shí)，在涉及到三角形的其他問題中，也常會用到它們.兩個(gè)定理的特殊功能是邊角互換，即利用它們可以把邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系，也可以把角的關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系，從而使許多問題得以解決.

【例1】 已知a、b為△ABC的邊，A、B分別是a、b的對角，且sinAsinB=32，求a+bb的值.

解：∵asinA=bsinB，∴sinAsinB=ab.又sinAsinB=32(這是角的關(guān)系)，

∴ab=32(這是邊的關(guān)系).于是，由合比定理，得a+bb=3+22=52.

【例2】 已知△ABC中，三邊a、b、c所對的角分別是A、B、C，且2b=a+c.

求證：sinA+sinC=2sinB.

證明：∵a+c=2b(這是邊的關(guān)系)，①

又asinA=bsinB=csinC，∴a=bsinAsinB，②

c=bsinCsinB.③

將②③代入①，得bsinAsinB+bsinCsinB=2b.整理，得sinA+sinC=2sinB(這是角的關(guān)系).

2.正、余弦定理的巧用

某些三角習(xí)題的化簡和求解，若能巧用正、余弦定理，則可避免許多繁雜的運(yùn)算，從而使問題較輕松地獲得解決，現(xiàn)舉例說明如下：

【例3】 求sin220°+cos280°+3sin20°cos80°的值.

解：原式=sin220°+sin210°-2sin20°sin10°cos150°，

∵20°+10°+150°=180°，∴20°、10°、150°可看作一個(gè)三角形的三個(gè)內(nèi)角.

設(shè)這三個(gè)內(nèi)角所對的邊依次是a、b、c，由余弦定理，得a2+b2-2abcos150°=c2.(_

而由正弦定理，知a=2Rsin20°，b=2Rsin10°，c=2Rsin150°，代入(_式，得sin220°+sin210°-2sin20°sin10°cos150°=sin2150°=14.∴原式=14.

二、備用習(xí)題

1.在△ABC中，已知a=11，b=20，A=130°，則此三角形(　　)

A.無解 B.只有一解

C.有兩解 D.解的個(gè)數(shù)不確定

2.△ABC中，已知(a+c)(a-c)=b2+bc，則A等于(　　)

A.30° B.60° C.120° D.150°

3.△ABC中，若acosB=bcosA，則該三角形一定是(　　)

A.等腰三角形但不是直角三角形

B.直角三角形但不是等腰三角形

C.等腰直角三角形

D.等腰三角形或直角三角形

4.△ABC中，tanA?tanB<1，則該三角形一定是(　　)

A.銳角三角形 B.鈍角三角形

C.直角三角形 D.以上都有可能

5.在△ABC中，若∠B=30°，AB=23，AC=2，則△ABC的面積是__________.

6.在△ABC中，已知A=120°，b=3，c=5，求：

(1)sinBsinC;

(2)sinB+sinC.

7.在△ABC中，角A、B、C所對邊的長分別是a、b、c，且cos〈AB→，AC→〉=14.

(1)求sin2B+C2+cos2A的值;

(2)若a=4，b+c=6，且b

參考答案：

1.A　解析：∵a90°，因此無解.

2.C　解析：由已知，得a2-c2=b2+bc，∴b2+c2-a2=-bc.

由余弦定理，得

cosA=b2+c2-a22bc=-bc2bc=-12.

∴A=120°.

3.D　解析：由已知條件結(jié)合正弦定理，得

sinAcosB=sinBcosA，即sinA?cosA=sinB?cosB，

∴sin2A=sin2B.

∴2A=2B或2A=180°-2B，

即A=B或A+B= 90°.

因此三角形為等腰三角形或直角三角形.

4.B　解析：由已知條件，得sinAcosA?sinBcosB<1，即cos?A+B?cosA?cosB>0，cosCcosAcosB<0.

說明cosA，cosB，cosC中有且只有一個(gè)為負(fù).

因此三角形為鈍角三角形.

5.23或3　解析：由ACsin30°=ABsinC，知sinC=32.

若∠C=60°，則△ABC是直角三角形，S△ABC=12AB×AC=23.

若∠C=120°，則∠A=30°，S△ABC=12AC×AB?sin30°=3.

6.解法一：(1)∵b=3，c=5，A=120°，

∴由余弦定理，得a2=b2+c2-2bccosA=9+25-2×3×5×(-12)=49.∴a=7.

由正弦定理，得sinB=bsinAa=3×327=3314，sinC=csinAa=5314，

∴sinBsinC=45196.

(2)由(1)知，sinB+sinC=8314=437.

解法二：(1)由余弦定理，得a=7，

由正弦定理a=2RsinA，得R=a2sinA=733，

∴sinB=b2R=32×733=3314，sinC=c2R=5314.

∴sinBsinC=45196.

(2)由(1)知，sinB+sinC=8314=437.

7.解：(1)sin2B+C2+cos2A=12[1-cos(B+C)]+(2cos2A-1)=12(1+cosA)+(2cos2A-1)=12(1+14)+(18-1)=-14.

(2)由余弦定理，得a2=b2+c2-2bccosA，

即a2=(b+c)2-2bc-2bccosA

數(shù)學(xué)《余弦定理》教學(xué)反思三

本節(jié)課是高中數(shù)學(xué)教材北師大版必修5第二章《解三角形》余弦定理的第一課時(shí)內(nèi)容，《課程標(biāo)準(zhǔn)》和教材把解三角形這部分內(nèi)容安排在必修5，位置相對靠后，在此前學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了三角函數(shù)、平面向量、直線和圓的方程等與本章知識聯(lián)系密切的內(nèi)容，使得這部分知識的處理有了比較多的工具，某些內(nèi)容處理的更加簡潔。學(xué)數(shù)學(xué)的最終目的是應(yīng)用數(shù)學(xué)，可是比較突出的是，學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識不強(qiáng)，創(chuàng)造能力弱，往往不能把實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)問題，不能把所學(xué)的知識應(yīng)用到實(shí)際問題中去，盡管對一些常見數(shù)學(xué)問題解法的能力較強(qiáng)，但當(dāng)面臨一種新的問題時(shí)卻辦法不多，對于諸如觀察、分析、歸納、類比、抽象、概括、猜想等發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的思維方法了解不夠，針對這些情況，教學(xué)中要重視從實(shí)際問題出發(fā)，引入數(shù)學(xué)課題，最后把數(shù)學(xué)知識應(yīng)用于實(shí)際問題。

余弦定理是關(guān)于任意三角形邊角之間的另一定理，是解決有關(guān)三角形問題與實(shí)際問題(如測量等)的重要定理，它將三角形的邊角有機(jī)的結(jié)合起來，實(shí)現(xiàn)了邊與角的互化，從而使三角和幾何有機(jī)的結(jié)合起來，為求與三角形有關(guān)的問題提供了理論依據(jù)。

教科書直接從三角形三邊的向量出發(fā)，將向量等式轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系，得到余弦定理，言簡意賅，簡潔明快，但給人感覺似乎跳躍較大，不夠自然，因此在創(chuàng)設(shè)問題情境中加了一個(gè)鋪墊，即讓學(xué)生想用向量方法證明勾股定理，再由特殊到一般，將直角三角形推廣為任意三角形，余弦定理水到渠成，并與勾股定理統(tǒng)一起來，這一嘗試是想回答：一個(gè)結(jié)論源自何處，是怎樣想到的。正弦定理和余弦定理源于向量的加減法運(yùn)算，其實(shí)向量的加減法的三角法則和平行四四邊形法則從形上揭示了三角形的邊角關(guān)系，而正弦定理與余弦定理是從數(shù)量關(guān)系上揭示了三角形的邊角關(guān)系，向量的數(shù)量積則打通了三角形邊角的數(shù)形聯(lián)系，因此用向量方法證明正、余弦定理比較簡潔，在證明余弦定理時(shí)，讓學(xué)生自主探究，尋找新的證法，拓展思維，打通余弦定理與正弦定理、向量、解析幾何、平面幾何的聯(lián)系，在比較各種證法后體會到向量證法的優(yōu)美簡潔，使知識交融、方法熟練、能力提升。

數(shù)學(xué)教學(xué)的主要目標(biāo)是激發(fā)學(xué)生的潛能，教會學(xué)生思考，讓學(xué)生變得聰明，學(xué)會數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)問題，具有創(chuàng)新品質(zhì)，具備數(shù)學(xué)文化素養(yǎng)是題中之義，想一想，成人工作以后，有多少人會再用到余弦定理，但圍繞余弦定理學(xué)生學(xué)到的發(fā)現(xiàn)方法、思維方式、探究創(chuàng)造與數(shù)學(xué)精神則會受用不盡。數(shù)學(xué)教學(xué)活動首先應(yīng)圍繞培養(yǎng)學(xué)生興趣、激發(fā)原動力，讓學(xué)生想學(xué)數(shù)學(xué)這門課，同時(shí)指導(dǎo)學(xué)生掌握數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一般方法，具備終身學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)。教師要不斷提出好的數(shù)學(xué)問題，還要教會學(xué)生提出問題，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題的意識和方法，并逐步將發(fā)現(xiàn)問題的意識變成直覺和習(xí)慣，在本節(jié)課中，通過余弦定理的發(fā)現(xiàn)過程，培養(yǎng)學(xué)生觀察、類比、發(fā)現(xiàn)、推理的能力，學(xué)生在教師引導(dǎo)下，自主思考、探究、小組合作相互交流啟發(fā)、思維碰撞，尋找不同的證明方法，既培養(yǎng)了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，同時(shí)掌握了學(xué)習(xí)概念、定理的基本方法，增強(qiáng)了學(xué)生的問題意識。其次，掌握正確的學(xué)習(xí)方法，沒有正確的學(xué)習(xí)方法，興趣不可能持久，概念、定理、公式、法則的學(xué)習(xí)方法是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的主要方法，學(xué)習(xí)的過程就是知其然，知其所以然、舉一反三的過程，學(xué)習(xí)余弦定理的過程正是指導(dǎo)學(xué)生掌握學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的良好學(xué)習(xí)方法的范例，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)余弦定理的來龍去脈，掌握余弦定理證明方法，理解余弦定理與其他知識的密切聯(lián)系，應(yīng)用余弦定理解決其他問題。在余弦定理教學(xué)中，尋求一題多解，探究證明余弦定理的多種方法，指導(dǎo)一題多變，改變余弦定理的形式，如已知兩邊夾角求第三邊的公式、已知三邊求角的余弦值的公式，啟發(fā)學(xué)生一題多想，引導(dǎo)學(xué)生思考余弦定理與正弦定理的聯(lián)系，與勾股定理的聯(lián)系、與向量的聯(lián)系、與三角知識的聯(lián)系以及與其他知識方法的聯(lián)系，通過不斷改變方法、改變形式、改變思維方式，夯實(shí)了數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，打通了知識聯(lián)系，掌握了數(shù)學(xué)的基本方法，豐富了數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗(yàn)，激發(fā)了數(shù)學(xué)創(chuàng)造思維和潛能。

教學(xué)中也會有很多遺憾，有許多的漏洞，在創(chuàng)設(shè)情境，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)推導(dǎo)方法、鼓勵學(xué)生質(zhì)疑提問、猜想等方面有很多遺憾，比如：如何引入向量，解釋的不夠。最后，希望各位同仁批評指正。