初中數(shù)學(xué)三角形知識(shí)點(diǎn)總結(jié)
初中數(shù)學(xué)三角形知識(shí)點(diǎn)總結(jié)2021
中考數(shù)學(xué)是歷年拉分科目,很多學(xué)生與自己心儀的 高中失之交臂,主要原因就是數(shù)學(xué)失手.下面是小編整理的初中數(shù)學(xué)三角形知識(shí)點(diǎn)總結(jié)，歡迎大家閱讀分享借鑒，希望對(duì)大家有幫助。
初中數(shù)學(xué)三角形知識(shí)點(diǎn)總結(jié)
等邊三角形
⑴等邊三角形是銳角三角形，等邊三角形的內(nèi)角都相等，且均為60°。
⑵等邊三角形每條邊上的中線、高線和所對(duì)角的平分線互相重合(三線合一)
⑶等邊三角形是軸對(duì)稱圖形，它有三條對(duì)稱軸，對(duì)稱軸是每條邊上的中線、高線 或?qū)堑钠椒志€所在的直線。
⑷等邊三角形的重要數(shù)據(jù)
角和邊的數(shù)量 3
內(nèi)角的大小 60°
⑸等邊三角形重心、內(nèi)心、外心、垂心重合于一點(diǎn)，稱為等邊三角形的中心。(四心合一)
⑹等邊三角形內(nèi)任意一點(diǎn)到三邊的距離之和為定值(等于其高)
三角形的垂心
銳角三角形垂心在三角形內(nèi)部。
直角三角形垂心在三角形直角頂點(diǎn)。
鈍角三角形垂心在三角形外部。
垂心是從三角形的各個(gè)頂點(diǎn)向其對(duì)邊所作的三條垂線的交點(diǎn)。
三角形三個(gè)頂點(diǎn)，三個(gè)垂足，垂心這7個(gè)點(diǎn)可以得到6組四點(diǎn)共圓。
三角形上作三高，三高必于垂心交。
高線分割三角形，出現(xiàn)直角三對(duì)整，
直角三角有十二，構(gòu)成九對(duì)相似形，
四點(diǎn)共圓圖中有，細(xì)心分析可找清，
三角形垂心的性質(zhì)
設(shè)△ABC的三條高為AD、BE、CF，其中D、E、F為垂足，垂心為H，角A、B、
C的對(duì)邊分別為a、b、c，p=(a+b+c)/2.
1、銳角三角形的垂心在三角形內(nèi);直角三角形的垂心在直角頂點(diǎn)上;鈍角三角形的垂心在三角形外.
2、三角形的垂心是它垂足三角形的內(nèi)心;或者說，三角形的內(nèi)心是它旁心三角形的垂心;
3、 垂心H關(guān)于三邊的對(duì)稱點(diǎn)，均在△ABC的外接圓上。
4、 △ABC中，有六組四點(diǎn)共圓，有三組(每組四個(gè))相似的直角三角形，且AH·HD=BH·HE=CH·HF。
5、 H、A、B、C四點(diǎn)中任一點(diǎn)是其余三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的垂心(并稱這樣的四點(diǎn)為一—垂心組)。
6、 △ABC，△ABH，△BCH，△ACH的外接圓是等圓。
7、 在非直角三角形中，過H的直線交AB、AC所在直線分別于P、Q，則 AB/AP·tanB+AC/AQ·tanC=tanA+tanB+tanC。
8、 設(shè)O，H分別為△ABC的外心和垂心，則∠BAO=∠HAC，∠ABH=∠OBC，∠BCO=∠HCA。
9、 銳角三角形的垂心到三頂點(diǎn)的距離之和等于其內(nèi)切圓與外接圓半徑之和的2倍。
10、 銳角三角形的`垂心是垂足三角形的內(nèi)心;銳角三角形的內(nèi)接三角形(頂點(diǎn)在原三角形的邊上)中，以垂足三角形的周長最短(施瓦爾茲三角形，最早在古希臘時(shí)期由海倫發(fā)現(xiàn))。
11、西姆松定理(西姆松線)：從一點(diǎn)向三角形的三邊所引垂線的垂足共線的充要條件是該點(diǎn)落在三角形的外接圓上。
12、 設(shè)銳角△ABC內(nèi)有一點(diǎn)P，那么P是垂心的充分必要條件是PBxPCxBC+PBxPAxAB+PAxPCxAC=ABxBCxCA。
13、設(shè)H為非直角三角形的垂心，且D、E、F分別為H在BC，CA，AB上的射影，H1，H2，H3分別為△AEF，△BDF，△CDE的垂心，則△DEF≌△H1H2H3。
14、三角形垂心H的垂足三角形的三邊，分別平行于原三角形外接圓在各頂點(diǎn)的切線。
溫馨提示：上面的很多三角形的垂心性質(zhì)知識(shí)，希望大家都可以記在筆記中了。
解直角三角形：
勾股定理，只適用于直角三角形(外國叫畢達(dá)哥拉斯定理) a^2+b^2=c^2, 其中a和b分別為直角三角形兩直角邊，c為斜邊。 勾股弦數(shù)是指一組能使勾股定理關(guān)系成立的三個(gè)正整數(shù)。比如：3，4，5。他們分別是3，4和5的倍數(shù)。 常見的勾股弦數(shù)有：3，4，5;6，8，10;5,12,13;10,24,26;等等.
解斜三角形：
在三角形ABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c. 則有 (1)正弦定理 a/SinA=b/SinB= c/SinC=2R (R為三角形外接圓半徑) (2)余弦定理 a^2=b^2+c^2-2bcxCosA b^2=a^2+c^2-2acxCosB c^2=a^2+b^2-2abxCosC 注：勾股定理其實(shí)是余弦定理的一種特殊情況。 (3)余弦定理變形公式 cosA=(b^2+C^2-a^2)/2bC cosb=(a^2+c^2-b^2)/2aC cosC=(a^2+b^2-C^2)/2ab
斜三角形的解法：
已知條件 定理應(yīng)用 一般解法
一邊和兩角 (如a、B、C) 正弦定理 由A+B+C=180˙，求角A，由正弦定理求出b與c，在有解時(shí) 有一解。
兩邊和夾角 (如a、b、c) 余弦定理 由余弦定理求第三邊c，由正弦定理求出小邊所對(duì)的角，再 由A+B+C=180˙求出另一角，在有解時(shí)有一解。
三邊 (如a、b、c) 余弦定理 由余弦定理求出角A、B，再利用A+B+C=180˙，求出角C 在有解時(shí)只有一解。
兩邊和其中一邊的對(duì)角 (如a、b、A) 正弦定理 由正弦定理求出角B，由A+B+C=180˙求出角C，在利用正 弦定理求出C邊，可有兩解、一解或無解。
勾股定理(畢達(dá)哥拉斯定理)
內(nèi)容：在任何一個(gè)直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方。 幾何語言：若△ABC滿足ABC=90，則AB+BC=AC 勾股定理的逆定理也成立，即兩條邊長的平方之和等于第三邊長的平方，則這個(gè)三角形是直角三角形 幾何語言：若△ABC滿足，則ABC=90。
射影定理(歐幾里得定理)
內(nèi)容：在任何一個(gè)直角三角形中，作出斜邊上的高，則斜邊上的高的平方等于高所在斜邊上的點(diǎn)到不是兩直角邊垂足的另外兩頂點(diǎn)的線段長度的乘積。 幾何語言：若△ABC滿足ABC=90，作BDAC，則BD=ADDC 射影定理的拓展：若△ABC滿足ABC=90，作BDAC， (1)AB=BDBC (2)AC=CDBC (3)ABXAC=BCXAD
正弦定理
內(nèi)容：在任何一個(gè)三角形中，每個(gè)角的正弦與對(duì)邊之比等于三角形面積的兩倍與三邊邊長和的乘積之比 幾何語言：在△ABC中，sinA/a=sinB/b=sinC/c=2S三角形/abc 結(jié)合三角形面積公式，可以變形為a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R(R是外接圓半徑)
余弦定理
內(nèi)容：在任何一個(gè)三角形中，任意一邊的平方等于另外兩邊的平方和減去這兩邊的2倍乘以它們夾角的余弦 幾何語言：在△ABC中，a=b+c-2bccosA 此定理可以變形為：cosA=(b+c-a)2bc
全等三角形
S.S.S. (Side-Side-Side)(邊、邊、邊)：各三角形的三條邊的長度都對(duì)應(yīng)地相等的話，該兩個(gè)三角形就是全等三角形。
S.A.S. (Side-Angle-Side)(邊、角、邊)：各三角形的其中兩條邊的長度都對(duì)應(yīng)地相等，且兩條邊夾著的角都對(duì)應(yīng)地相等的話，該兩個(gè)三角形就是全等三角形。
A.S.A. (Angle-Side-Angle)(角、邊、角)：各三角形的其中兩個(gè)角都對(duì)應(yīng)地相等，且兩個(gè)角夾著的邊都對(duì)應(yīng)地相等的話，該兩個(gè)三角形就是全等三角形。
A.A.S. (Angle-Angle-Side)(角、角、邊)：各三角形的其中兩個(gè)角都對(duì)應(yīng)地相等，且沒有被兩個(gè)角夾著的邊都對(duì)應(yīng)地相等的話，該兩個(gè)三角形就是全等三角形。
H.L.(hypotenuse -leg) (斜邊、直角邊)：直角三角形中一條斜邊和一條直角邊都對(duì)應(yīng)相等，該兩個(gè)三角形就是全等三角形。
不同的定義推理出不同的判定方法，這就是全等三角形的特殊之處。
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